Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 40, знаменатель прогрессии равен 3. Найти...

Для нахождения суммы первых восьми членов геометрической прогрессии с заданным знаменателем необходимо воспользоваться формулой для суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Из условия задачи мы знаем, что сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 40, а знаменатель прогрессии равен 3. Подставим эти значения в формулу:

40 = a_1 * (1 - 3^4) / (1 - 3).

Решим это уравнение относительно первого члена прогрессии a_1:

40 = a_1 * (1 - 81) / -2, 40 = -80a_1, a_1 = -0.5.

Теперь найдем сумму первых восьми членов прогрессии:

S_8 = -0.5 (1 - 3^8) / (1 - 3), S_8 = -0.5 (1 - 6561) / -2, S_8 = -0.5 * (-6560) / -2, S_8 = 3280.

Итак, сумма первых восьми членов геометрической прогрессии с знаменателем 3 равна 3280.

Для решения задачи нужно сначала определить первый член геометрической прогрессии. Дано, что сумма первых четырёх членов прогрессии равна 40, а знаменатель прогрессии равен 3. Обозначим первый член прогрессии как ( a ).

Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии с первым членом ( a ) и знаменателем ( r ) выглядит так:

[ S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} ]

Для первых четырёх членов (( n = 4 )) мы имеем:

[ S_4 = a \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 40 ]

Подставим значения:

[ a \frac{81 - 1}{2} = 40 ]

[ a \cdot 40 = 40 ]

Отсюда следует, что:

[ a = 1 ]

Теперь, зная первый член прогрессии, найдём сумму первых восьми членов (( n = 8 )):

[ S_8 = a \frac{3^8 - 1}{3 - 1} ]

Подставим значения:

[ S_8 = 1 \cdot \frac{6561 - 1}{2} ]

[ S_8 = \frac{6560}{2} = 3280 ]

Таким образом, сумма первых восьми членов прогрессии равна 3280.