Тело движется прямолинейно со скоростью V(t)=(3+3t^2) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые...

Путь, пройденный точкой за первые 5 с от начала движения, равен 125 м.

Для нахождения пути, пройденного точкой за первые 5 с от начала движения, нужно найти интеграл от функции скорости V(t) по времени от 0 до 5 секунд.

Интегрируя функцию скорости V(t)=(3+3t^2) по времени, получаем функцию пути S(t)=∫(3+3t^2)dt = 3t + t^3 + C, где C - постоянная интегрирования.

Подставляя пределы интегрирования и вычисляя разность S(5) - S(0), получаем S(5) - S(0) = (35 + 5^3) - (30 + 0^3) = 15 + 125 = 140 м.

Поэтому, путь, пройденный точкой за первые 5 секунд от начала движения, равен 140 метров. Ответ: 140 м.

Чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 5 секунд, необходимо вычислить интеграл от скорости по времени от 0 до 5 секунд.

Имеем функцию скорости ( V(t) = 3 + 3t^2 ) м/с. Путь ( S ) будет равен интегралу данной функции:

[ S = \int_0^5 (3 + 3t^2) \, dt ]

Раскроем интеграл:

[ S = \int_0^5 3 \, dt + \int_0^5 3t^2 \, dt ]

Вычислим каждый из интегралов по отдельности. Для первого интеграла:

[ \int_0^5 3 \, dt = 3t \bigg|_0^5 = 3 \times 5 - 3 \times 0 = 15 ]

Для второго интеграла:

[ \int_0^5 3t^2 \, dt = 3 \times \frac{t^3}{3} \bigg|_0^5 = t^3 \bigg|_0^5 = 5^3 - 0^3 = 125 ]

Теперь, суммируя оба результата:

[ S = 15 + 125 = 140 \text{ м} ]

Итак, путь, пройденный точкой за первые 5 секунд, составляет 140 метров.