Тело массой 2кг движется прямолинейно по закону S(t)=t^2+t+1. Найдите кинетическую энергию через 2 сек. после начла движения.
Маховик, задерживаемый тормозом, за t сек. поворачивается на угол φ(t)=3t-0,5t^2. Определите угловую скорость маховика в момент времени t=2 сек.
Найдите производную функции: a) y=1/8x^4-2x^3+7x-24 b) y=x^6*tgx c) y=sinx/x^3
Давайте по порядку разберем каждый из ваших вопросов.
Для начала найдем скорость тела в момент времени ( t = 2 ) секунды. Путь ( S(t) ) задан как:
[ S(t) = t^2 + t + 1 ]
Чтобы найти скорость, нужно взять производную функции ( S(t) ):
[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t + 1) = 2t + 1 ]
Теперь подставим ( t = 2 ):
[ v(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \, \text{м/с} ]
Теперь мы можем найти кинетическую энергию ( K ) тела с массой ( m = 2 \, \text{кг} ) по формуле:
[ K = \frac{1}{2} mv^2 ]
Подставим значения:
[ K = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (5)^2 = 1 \cdot 25 = 25 \, \text{Дж} ]
Таким образом, кинетическая энергия через 2 сек. после начала движения равна ( 25 \, \text{Дж} ).
Угол поворота маховика ( \phi(t) ) задан как:
[ \phi(t) = 3t - 0.5t^2 ]
Чтобы найти угловую скорость, нужно взять производную функции угла:
[ \omega(t) = \phi'(t) = \frac{d}{dt}(3t - 0.5t^2) = 3 - t ]
Теперь подставим ( t = 2 ):
[ \omega(2) = 3 - 2 = 1 \, \text{рад/с} ]
Таким образом, угловая скорость маховика в момент времени ( t = 2 ) сек. равна ( 1 \, \text{рад/с} ).
a) Для функции ( y = \frac{1}{8}x^4 - 2x^3 + 7x - 24 ):
[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{8}x^4 - 2x^3 + 7x - 24\right) = \frac{1}{8} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 7 = \frac{1}{2}x^3 - 6x^2 + 7 ]
b) Для функции ( y = x^6 \cdot \tan(x) ):
Используем правило произведения:
[ y' = u'v + uv' \quad (где \, u = x^6, \, v = \tan(x)) ]
Найдем производные ( u' ) и ( v' ):
[ u' = 6x^5, \quad v' = \sec^2(x) ]
Теперь подставим:
[ y' = (6x^5) \tan(x) + (x^6)(\sec^2(x)) = 6x^5 \tan(x) + x^6 \sec^2(x) ]
c) Для функции ( y = \frac{\sin(x)}{x^3} ):
Используем правило деления:
[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (где \, u = \sin(x), \, v = x^3) ]
Найдем производные ( u' ) и ( v' ):
[ u' = \cos(x), \quad v' = 3x^2 ]
Теперь подставим:
[ y' = \frac{\cos(x) \cdot x^3 - \sin(x) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{x^3 \cos(x) - 3x^2 \sin(x)}{x^6} = \frac{\cos(x)}{x^3} - \frac{3\sin(x)}{x^4} ]
Таким образом, мы нашли производные для всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
Дано уравнение движения тела:
( S(t) = t^2 + t + 1 ).
Кинетическая энергия определяется формулой:
[
E_k = \frac{1}{2}mv^2,
]
где ( m ) — масса тела, а ( v ) — скорость тела.
Чтобы найти скорость ( v ), нужно вычислить первую производную закона движения ( S(t) ):
[
v(t) = \frac{dS(t)}{dt}.
]
Вычислим производную:
[
v(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + t + 1) = 2t + 1.
]
Через ( t = 2 ) секунды скорость равна:
[
v(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \, \text{м/с}.
]
Теперь подставим значения массы ( m = 2 \, \text{кг} ) и скорости ( v = 5 \, \text{м/с} ) в формулу кинетической энергии:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5^2 = 25 \, \text{Дж}.
]
Ответ: кинетическая энергия через 2 секунды равна ( 25 \, \text{Дж} ).
Дано уравнение угла поворота маховика:
[
\varphi(t) = 3t - 0.5t^2.
]
Угловая скорость ( \omega(t) ) определяется как первая производная функции угла поворота ( \varphi(t) ):
[
\omega(t) = \frac{d\varphi(t)}{dt}.
]
Находим производную:
[
\omega(t) = \frac{d}{dt}(3t - 0.5t^2) = 3 - t.
]
В момент времени ( t = 2 ) секунды угловая скорость:
[
\omega(2) = 3 - 2 = 1 \, \text{рад/с}.
]
Ответ: угловая скорость маховика в момент времени ( t = 2 ) равна ( 1 \, \text{рад/с} ).
Производная суммы функций равна сумме производных, а производная ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ).
[
y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{8}x^4 \right) - \frac{d}{dx} (2x^3) + \frac{d}{dx} (7x) - \frac{d}{dx} (24).
]
[
y' = \frac{1}{8} \cdot 4x^3 - 6x^2 + 7 - 0.
]
[
y' = \frac{1}{2}x^3 - 6x^2 + 7.
]
Ответ: ( y' = \frac{1}{2}x^3 - 6x^2 + 7 ).
Для производной произведения функций используем правило Лейбница:
[
(uv)' = u'v + uv'.
]
Здесь ( u = x^6 ), ( v = \tan x ). Тогда:
[
y' = (x^6)' \cdot \tan x + x^6 \cdot (\tan x)'.
]
Вычислим производные:
((x^6)' = 6x^5), ((\tan x)' = \sec^2 x).
Подставим:
[
y' = 6x^5 \cdot \tan x + x^6 \cdot \sec^2 x.
]
Ответ: ( y' = 6x^5 \tan x + x^6 \sec^2 x ).
Используем правило производной дроби:
[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.
]
Здесь ( u = \sin x ), ( v = x^3 ).
Найдем производные:
((\sin x)' = \cos x), ((x^3)' = 3x^2).
Подставим в формулу:
[
y' = \frac{(\cos x)(x^3) - (\sin x)(3x^2)}{(x^3)^2}.
]
Упростим числитель:
[
y' = \frac{x^3 \cos x - 3x^2 \sin x}{x^6}.
]
Сократим на ( x^2 ):
[
y' = \frac{x \cos x - 3 \sin x}{x^4}.
]
Ответ: ( y' = \frac{x \cos x - 3 \sin x}{x^4} ).
Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь!
