Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления....

Скорость теплохода в неподвижной воде равна 12 км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна ( x ) км/ч.

Теплоход проходит расстояние до пункта назначения со скоростью ( x + 4 ) км/ч (так как он движется по течению) и обратно со скоростью ( x - 4 ) км/ч (против течения).

По условию задачи, время, которое теплоход тратит на движение до пункта назначения и обратно, равно 10 часов (5 часов на один путь и 5 часов на обратный).

Таким образом, у нас есть уравнение:

[ \frac{48}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 10 ]

Решая это уравнение, мы найдем значение ( x ), которое будет равно скорости теплохода в неподвижной воде.

Чтобы найти скорость теплохода в неподвижной воде, обозначим ее за ( v ) км/ч. Рассмотрим условия задачи:

1. Скорость течения реки: 4 км/ч.
2. Расстояние до пункта назначения: 48 км.
3. Время на весь путь (включая стоянку): 10 часов.
4. Время стоянки: 5 часов.

Разложение задачи:

1. Движение по течению:

   • Скорость теплохода по течению будет равна ( v + 4 ) км/ч.
   • Время, затраченное на движение до пункта назначения, обозначим за ( t_1 ).
   • Уравнение для движения по течению: [ 48 = (v + 4) \cdot t_1 ] Отсюда: [ t_1 = \frac{48}{v + 4} ]

2. Движение против течения:

   • Скорость теплохода против течения будет ( v - 4 ) км/ч.
   • Время, затраченное на обратный путь, обозначим за ( t_2 ).
   • Уравнение для движения против течения: [ 48 = (v - 4) \cdot t_2 ] Отсюда: [ t_2 = \frac{48}{v - 4} ]

3. Общее время в пути (без учета стоянки):

   • С учетом стоянки, общее время составляет 10 часов.
   • Уравнение для общего времени: [ t_1 + 5 + t_2 = 10 ] Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{48}{v + 4} + 5 + \frac{48}{v - 4} = 10 ] Упростим уравнение: [ \frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} = 5 ]

Решение уравнения:

1. Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{48(v - 4) + 48(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 5 ] [ \frac{48v - 192 + 48v + 192}{v^2 - 16} = 5 ] [ \frac{96v}{v^2 - 16} = 5 ]

2. Решим уравнение: [ 96v = 5(v^2 - 16) ] [ 96v = 5v^2 - 80 ] [ 5v^2 - 96v - 80 = 0 ]

3. Решим квадратное уравнение: [ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 5 ), ( b = -96 ), ( c = -80 ).

4. Найдем дискриминант: [ D = (-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 9216 + 1600 = 10816 ]

5. Вычислим корни: [ v = \frac{96 \pm \sqrt{10816}}{10} ] [ v = \frac{96 \pm 104}{10} ]

   Возможные корни: [ v_1 = \frac{200}{10} = 20 \quad \text{км/ч} ] [ v_2 = \frac{-8}{10} = -0.8 \quad \text{(неподходящий, так как скорость не может быть отрицательной)} ]

Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде составляет ( 20 ) км/ч.