Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 567 км. и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 6 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км./ч. (Решение задач при помощи квадратных уравнений.) Буду благодарна!
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна V км/ч. Тогда по условию задачи время, которое теплоход двигался по течению реки, равно 54 часа - 6 часов = 48 часов. Теплоход прошел 567 км вниз по течению реки и 567 км вверх против течения. Тогда уравнение движения теплохода по течению будет: 567 = (V+3) 48 А уравнение движения теплохода против течения будет: 567 = (V-3) 54 Решив данную систему уравнений, найдем скорость теплохода в неподвижной воде V = 15 км/ч.
Ответ: скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч.
Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна V км/ч. Тогда при движении по течению реки скорость теплохода будет равна V + 3 км/ч, а при движении против течения - V - 3 км/ч.
Пусть время движения теплохода по течению до пункта назначения равно t часов. Тогда время движения теплохода против течения будет равно (t + 54) часов.
Так как расстояние до пункта назначения равно 567 км, то можем записать уравнение:
567 = (V + 3) t + (V - 3) (t + 54)
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
567 = Vt + 3t + Vt - 3t - 162
567 = 2Vt - 162
2Vt = 729
Vt = 729/2
V = 729 / (2t)
Теперь воспользуемся информацией о стоянке теплохода. После стоянки теплоход возвращается на пункт отправления, пройдя ту же дистанцию 567 км. Следовательно, время возвращения теплохода равно t + 6 часов.
Подставим это в уравнение:
V(t + 6) = 567
Vt + 6V = 567
729/2 + 6V = 567
6V = 567 - 729/2
V = (567 - 729/2) / 6
V = (1134 - 729) / 12
V = 405 / 12
V = 33.75 км/ч
Итак, скорость теплохода в неподвижной воде равна 33.75 км/ч.
Для решения данной задачи введем переменные:
Нам нужно найти скорость теплохода в неподвижной воде ( v ).
По течению:
Скорость теплохода по течению будет ( v + u ) км/ч. Время на путь до пункта назначения (567 км):
[ t_{\text{по течению}} = \frac{567}{v + 3} ]
Против течения:
Скорость теплохода против течения будет ( v - u ) км/ч. Время на путь обратно (567 км):
[ t_{\text{против течения}} = \frac{567}{v - 3} ]
Общее время, затраченное на путь туда и обратно, включая стоянку:
[ t{\text{по течению}} + t{\text{против течения}} + 6 = 54 ]
Подставим выражения для времени:
[ \frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} + 6 = 54 ]
Сначала упростим уравнение, вычтем 6 из обеих частей:
[ \frac{567}{v + 3} + \frac{567}{v - 3} = 48 ]
Приведем к общему знаменателю:
[ \frac{567(v - 3) + 567(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 48 ]
Раскроем скобки в числителе:
[ \frac{567v - 1701 + 567v + 1701}{v^2 - 9} = 48 ]
Объединим и упростим числитель:
[ \frac{1134v}{v^2 - 9} = 48 ]
Умножим обе части уравнения на ( v^2 - 9 ):
[ 1134v = 48(v^2 - 9) ]
Раскроем скобки:
[ 1134v = 48v^2 - 432 ]
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
[ 48v^2 - 1134v - 432 = 0 ]
Квадратное уравнение имеет вид ( av^2 + bv + c = 0 ), где:
[ a = 48, \, b = -1134, \, c = -432 ]
Найдем дискриминант ( D ):
[ D = b^2 - 4ac ] [ D = (-1134)^2 - 4 \cdot 48 \cdot (-432) ] [ D = 1285956 + 82944 ] [ D = 1368900 ]
Найдем корни уравнения:
[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ v = \frac{1134 \pm \sqrt{1368900}}{96} ]
Сначала найдем (\sqrt{1368900} ):
[ \sqrt{1368900} \approx 1170 ]
Теперь подставим значения:
[ v = \frac{1134 + 1170}{96} ] [ v = \frac{2304}{96} ] [ v = 24 \text{ км/ч} ]
Второй корень:
[ v = \frac{1134 - 1170}{96} ] [ v = \frac{-36}{96} ] [ v = -0.375 \text{ км/ч} ]
Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем ( v = 24 \text{ км/ч} ).
Скорость теплохода в неподвижной воде равна ( 24 \text{ км/ч} ).
