Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения реки, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода. обозначьте собственную скорость теплохода через х км/ч, составьте уравнение, соответствующее условию задачи, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч
Для решения задачи введём следующие обозначения:
Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на скорость течения реки, т.е. составляет ( x + 3 ) км/ч. Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения реки, т.е. составляет ( x - 3 ) км/ч.
Теперь составим уравнение, учитывая, что общее время, затраченное на всё путешествие, составляет 8 часов.
Время, затраченное на путь по течению реки, определяется как расстояние, делённое на скорость: [ \text{Время по течению} = \frac{108}{x + 3} \text{ часов} ]
Время, затраченное на путь против течения реки, аналогично: [ \text{Время против течения} = \frac{84}{x - 3} \text{ часов} ]
Сумма этих времён равна общему времени путешествия: [ \frac{108}{x + 3} + \frac{84}{x - 3} = 8 ]
Это уравнение и описывает условие задачи. Оно является рациональным уравнением. Для его решения умножим обе части уравнения на ( (x + 3)(x - 3) ) (общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей: [ 108(x - 3) + 84(x + 3) = 8(x^2 - 9) ]
Раскроем скобки и упростим уравнение: [ 108x - 324 + 84x + 252 = 8x^2 - 72 ]
Соберём все члены уравнения с одной стороны: [ 8x^2 - 192x - 72 + 324 - 252 = 0 ] [ 8x^2 - 192x + 0 = 0 ]
Разделим уравнение на 8 для упрощения: [ x^2 - 24x = 0 ]
Решим это квадратное уравнение: [ x(x - 24) = 0 ]
Отсюда получаем два корня: [ x = 0 \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть нулевой)} ] [ x = 24 \quad \text{(подходит)} ]
Таким образом, собственная скорость теплохода равна 24 км/ч.
Пусть скорость теплохода по течению реки равна ( x+3 ) км/ч, а против течения реки ( x-3 ) км/ч.
Тогда время, затраченное на движение по течению будет равно ( \frac{108}{x+3} ), а по течению - ( \frac{84}{x-3} ).
Учитывая, что сумма времени движения равна 8 часам, получаем уравнение:
[ \frac{108}{x+3} + \frac{84}{x-3} = 8 ]
Решая данное уравнение, найдем собственную скорость теплохода.
Пусть собственная скорость теплохода равна х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки будет равна (х+3) км/ч, а против течения – (х-3) км/ч. Составим уравнение на основе формулы: время = расстояние / скорость. 108 / (х+3) + 84 / (х-3) = 8 Решив это уравнение, найдем собственную скорость теплохода.
