Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения реки, затратив на весь путь 8 часов. Найдите...

Для решения задачи введём следующие обозначения:

• $x$ км/ч — собственная скорость теплохода $скоростьтеплоходавстоячейводе$,
• $3$ км/ч — скорость течения реки.

Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на скорость течения реки, т.е. составляет $x+3$ км/ч. Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения реки, т.е. составляет $x-3$ км/ч.

Теперь составим уравнение, учитывая, что общее время, затраченное на всё путешествие, составляет 8 часов.

Время, затраченное на путь по течению реки, определяется как расстояние, делённое на скорость: $\text{Время по течению}=\frac{108}{x+3}\text{ часов}$

Время, затраченное на путь против течения реки, аналогично: $\text{Время против течения}=\frac{84}{x-3}\text{ часов}$

Сумма этих времён равна общему времени путешествия: $\frac{108}{x+3}+\frac{84}{x-3}=8$

Это уравнение и описывает условие задачи. Оно является рациональным уравнением. Для его решения умножим обе части уравнения на $(x+3$$x-3$ ) $общийзнаменатель$, чтобы избавиться от дробей: $108(x-3)+84(x+3)=8(x^2-9)$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $108x-324+84x+252=8x^2-72$

Соберём все члены уравнения с одной стороны: $8x^2-192x-72+324-252=0$ $8x^2-192x+0=0$

Разделим уравнение на 8 для упрощения: $x^2-24x=0$

Решим это квадратное уравнение: $x(x-24)=0$

Отсюда получаем два корня: $x=0\text{(не подходит, так как скорость не может быть нулевой)}$ $x=24\text{(подходит)}$

Таким образом, собственная скорость теплохода равна 24 км/ч.

Пусть скорость теплохода по течению реки равна $x+3$ км/ч, а против течения реки $x-3$ км/ч.

Тогда время, затраченное на движение по течению будет равно $\frac{108}{x+3}$, а по течению - $\frac{84}{x-3}$.

Учитывая, что сумма времени движения равна 8 часам, получаем уравнение:

$\frac{108}{x+3}+\frac{84}{x-3}=8$

Решая данное уравнение, найдем собственную скорость теплохода.

Пусть собственная скорость теплохода равна х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки будет равна $х+3$ км/ч, а против течения – $х-3$ км/ч. Составим уравнение на основе формулы: время = расстояние / скорость. 108 / $х+3$ + 84 / $х-3$ = 8 Решив это уравнение, найдем собственную скорость теплохода.