Теплоход прошел 72 км против течения реки и 56 км по течению реки, затратив на путь против течения на...

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы, связывающие скорость, время и расстояние. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначения:

   • Пусть ( v ) км/ч — собственная скорость теплохода.
   • Скорость течения реки — 2 км/ч.

2. Скорости в разных направлениях:

   • Скорость теплохода против течения: ( v - 2 ) км/ч.
   • Скорость теплохода по течению: ( v + 2 ) км/ч.

3. Время в пути:

   • Время, затраченное на движение против течения: [ t_{\text{против}} = \frac{72}{v - 2} ]
   • Время, затраченное на движение по течению: [ t_{\text{по}} = \frac{56}{v + 2} ]

4. Уравнение по условию задачи: По условию задачи, время в пути против течения на 1 час больше, чем время в пути по течению: [ \frac{72}{v - 2} = \frac{56}{v + 2} + 1 ]

5. Решение уравнения: Уравнение можно упростить: [ \frac{72}{v - 2} - \frac{56}{v + 2} = 1 ]

   Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{72(v + 2) - 56(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 1 ]

   Раскроем скобки в числителе: [ 72v + 144 - 56v + 112 = 1 \cdot ((v - 2)(v + 2)) ]

   Упростим числитель: [ 16v + 256 = v^2 - 4 ]

   Приведем уравнение к стандартному виду: [ v^2 - 16v - 260 = 0 ]

6. Решение квадратного уравнения: Используем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 256 + 1040 = 1296 ]

   Найдем корни уравнения: [ v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{1296}}{2} ]

   [ \sqrt{1296} = 36 ]

   [ v_1 = \frac{16 + 36}{2} = 26, \quad v_2 = \frac{16 - 36}{2} = -10 ]

   Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем ( v = 26 ).

7. Ответ: Собственная скорость теплохода составляет 26 км/ч.

Пусть скорость теплохода равна V км/ч. Тогда время, затраченное на путь против течения, будет равно 72 / (V - 2) часов, а время, затраченное на путь по течению, будет равно 56 / (V + 2) часов.

Условие задачи гласит, что время на путь против течения на 1 час больше, чем время на путь по течению. Следовательно, можно записать уравнение: 72 / (V - 2) = 56 / (V + 2) + 1

Решаем уравнение: 72 / (V - 2) = 56 / (V + 2) + 1 72 / (V - 2) = (56 + V + 2) / (V + 2) 72(V + 2) = (56V + 112) + (V + 2)(V - 2) 72V + 144 = 56V + 112 + V^2 - 4 V^2 + 16V - 32 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем два корня: V1 = -20 и V2 = 4. Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость теплохода равна 4 км/ч.

Пусть скорость теплохода равна V км/ч. Тогда время, затраченное на путь против течения, будет равно 72 / (V - 2) часов, а на путь по течению - 56 / (V + 2) часов. Учитывая условие задачи, получаем уравнение:

72 / (V - 2) = 56 / (V + 2) + 1

Решив это уравнение, найдем V = 11 км/ч - собственная скорость теплохода.