Третий член возрастающей геометрической прогрессии равен 3,а пятый член равен 75.Найдите знаменатель...

Знаменатель геометрической прогрессии равен 5.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии можно воспользоваться формулой для вычисления элемента прогрессии:

[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, ]

где [ a_n ] - n-ый член прогрессии, [ a_1 ] - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Из условия задачи у нас есть данные: [ a_3 = 3 ] [ a_5 = 75 ]

Подставим данные в формулу для 3-го и 5-го членов прогрессии:

[ 3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2 ] [ 75 = a_1 \cdot q^{5-1} = a_1 \cdot q^4 ]

Теперь поделим уравнения друг на друга, чтобы избавиться от переменной ( a_1 ):

[ \frac{75}{3} = \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q^2} ] [ 25 = q^2 ]

Отсюда получаем, что знаменатель геометрической прогрессии равен 5.

Для решения задачи о нахождении знаменателя геометрической прогрессии, нужно воспользоваться основными свойствами и формулой для ( n )-го члена геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии через ( a ), а знаменатель прогрессии через ( q ).

Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии выглядит так: [ a_n = a \cdot q^{n-1} ]

Из условия задачи известно, что третий член прогрессии равен 3, а пятый член равен 75. Запишем эти условия в виде уравнений: [ a_3 = a \cdot q^2 = 3 ] [ a_5 = a \cdot q^4 = 75 ]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. ( a \cdot q^2 = 3 )
2. ( a \cdot q^4 = 75 )

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить ( a ): [ \frac{a \cdot q^4}{a \cdot q^2} = \frac{75}{3} ] [ q^2 = 25 ]

Теперь найдём ( q ): [ q = \sqrt{25} ] [ q = 5 ] или ( q = -5 )

Но так как по условию прогрессия возрастающая, знаменатель ( q ) должен быть положительным. Таким образом, знаменатель прогрессии ( q ) равен 5.

Проверим найденное значение: Подставим ( q = 5 ) в первое уравнение: [ a \cdot 5^2 = 3 ] [ a \cdot 25 = 3 ] [ a = \frac{3}{25} ]

Теперь проверим, соответствует ли это значение условию для пятого члена: [ a_5 = \left( \frac{3}{25} \right) \cdot 5^4 ] [ a_5 = \left( \frac{3}{25} \right) \cdot 625 ] [ a_5 = 3 \cdot 25 = 75 ]

Все условия выполняются, следовательно, правильный ответ: Знаменатель геометрической прогрессии ( q ) равен 5.