Три ученика решили вместе 100 задач, при этом каждый из них решил ровно 60 задач. Будем называть задачу,...

Трудных задач больше на 20.

Давайте рассмотрим задачу более подробно.

Пусть ( A ), ( B ) и ( C ) обозначают множества задач, решённых первым, вторым и третьим учеником соответственно. Из условия задачи знаем, что:

1. ( |A| = |B| = |C| = 60 ) — каждый ученик решил 60 задач.
2. ( |A \cup B \cup C| = 100 ) — все трое вместе решили 100 задач.

Задача, решенная всеми тремя учениками, называется лёгкой. Обозначим количество таких задач через ( x ).

Теперь используем формулу включений-исключений для трёх множеств:

[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]

Подставим известные значения:

[ 100 = 60 + 60 + 60 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + x ]

Упростим:

[ 100 = 180 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + x ]

[ |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 80 + x ]

Теперь, определим количество трудных задач. Трудной считается задача, которую решил только один из учеников. Найдём количество таких задач для каждого ученика.

Количество задач, решённых только первым учеником:

[ |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + x = 60 - (|A \cap B| + |A \cap C| - x) ]

Аналогично, для второго и третьего учеников:

[ |B| - |A \cap B| - |B \cap C| + x = 60 - (|A \cap B| + |B \cap C| - x) ]

[ |C| - |A \cap C| - |B \cap C| + x = 60 - (|A \cap C| + |B \cap C| - x) ]

Теперь сложим все три выражения:

[ 3 \times 60 - 2(|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 3x ]

Подставим ( |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 80 + x ):

[ 180 - 2(80 + x) + 3x = 180 - 160 - 2x + 3x = 20 + x ]

Итак, количество трудных задач равно ( 20 + x ).

Таким образом, количество трудных задач превышает количество лёгких задач на:

[ (20 + x) - x = 20 ]

Ответ: трудных задач на 20 больше, чем лёгких.

Пусть общее количество задач, которые решили три ученика, равно 100. Каждый из них решил 60 задач, поэтому общее количество решенных задач равно 3*60 = 180 задач.

Из этого следует, что общее количество трудных задач равно 180 - 100 = 80 задач. Лёгких задач было 100 - 80 = 20.

Таким образом, на 60 трудных задач больше, чем лёгких.