у=-х^2 - 6х - 8 построить график. Найти область значения функции. Найти промежутки возрастания функции
у=-х^2 - 6х - 8 построить график. Найти область значения функции. Найти промежутки возрастания функции
График функции у=-х^2 - 6х - 8 имеет форму параболы, которая открывается вниз. Область значений функции - все действительные числа. Функция убывает на всей числовой прямой.
Для начала давайте рассмотрим функцию ( y = -x^2 - 6x - 8 ). Это квадратичная функция, и её график представляет собой параболу, направленную вниз, поскольку коэффициент при ( x^2 ) отрицательный.
Найдем вершину параболы: Формула для нахождения вершины параболы ( y = ax^2 + bx + c ) — это ( x = -\frac{b}{2a} ). В данном случае ( a = -1 ), ( b = -6 ), ( c = -8 ).
[ x = -\frac{-6}{2 \times -1} = \frac{6}{-2} = -3 ]
Подставим ( x = -3 ) в уравнение функции, чтобы найти ( y )-координату вершины:
[ y = -(-3)^2 - 6(-3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1 ]
Таким образом, вершина параболы находится в точке ((-3, 1)).
Найдем точки пересечения с осью ( y ): Для этого подставим ( x = 0 ):
[ y = -0^2 - 6 \times 0 - 8 = -8 ]
Таким образом, точка пересечения с осью ( y ) — это ((0, -8)).
Найдем точки пересечения с осью ( x ): Для этого решим уравнение ( -x^2 - 6x - 8 = 0 ):
[ x^2 + 6x + 8 = 0 ]
Решая квадратное уравнение:
[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 1 \times 8 = 36 - 32 = 4 ]
[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2}{2} ]
[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4 ]
Таким образом, точки пересечения с осью ( x ) — это ((-2, 0)) и ((-4, 0)).
Теперь мы можем построить график, используя вершину и точки пересечения с осями.
Поскольку парабола направлена вниз, её область значений ограничена сверху значением вершины. Вершина имеет ( y )-координату 1. Таким образом, область значений функции:
[ y \leq 1 ]
Функция возрастает на промежутке от ( -\infty ) до вершины, то есть до ( x = -3 ). Таким образом, промежуток возрастания:
[ x \in (-\infty, -3) ]
На этом интервале значение функции увеличивается по мере приближения к вершине.
Теперь у вас есть полное представление о графике данной функции, её области значений и промежутках возрастания.
Для построения графика функции у = -х^2 - 6х - 8 сначала определим вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой x = -b / (2a), где a = -1, b = -6. Тогда x = -(-6) / (2 * -1) = 3. Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -17).
Далее, определим, в какую сторону от вершины парабола открывается. Поскольку коэффициент при х^2 отрицательный, парабола будет направлена вниз.
Теперь построим график функции, используя вершину параболы и дополнительные точки. Например, найдем значение функции в точках x = 0, x = 2 и x = 5. Подставив эти значения в у = -х^2 - 6х - 8, получим соответственно у = -8, у = -18 и у = -43.
Изобразив эти точки на координатной плоскости и соединив их гладкой кривой, мы получим график функции у = -х^2 - 6х - 8.
Областью значений функции являются все действительные числа, поскольку любое значение аргумента х дает соответствующее значение функции у.
Промежутки возрастания функции можно найти, проанализировав производную функции. Из выражения у = -х^2 - 6х - 8 найдем производную: у' = -2х - 6. Поскольку производная отрицательна на всей области определения функции, функция убывает на всей своей области значений.
