Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью ОХ равен α. Найдите...

Для решения задачи нам нужно использовать полярные координаты, где радиус ( r ) и угол ( \alpha ) задают положение точки на плоскости. Переведем эти координаты в декартовы координаты.

а) ( r = 4 ), ( \alpha = 60^\circ )

Координаты в полярной системе:

• Радиус (r): 4
• Угол ((\alpha)): 60°

Координаты в декартовой системе:

• ( x = r \cdot \cos(\alpha) )
• ( y = r \cdot \sin(\alpha) )

Поскольку ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ) и ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), подставляем:

[ x = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ] [ y = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, координаты точки М в случае а) будут (2, 2√3).

б) ( r = 8 ), ( \alpha = 150^\circ )

Координаты в полярной системе:

• Радиус (r): 8
• Угол ((\alpha)): 150°

Координаты в декартовой системе:

• ( x = r \cdot \cos(\alpha) )
• ( y = r \cdot \sin(\alpha) )

Поскольку ( \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) и ( \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} ), подставляем:

[ x = 8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4\sqrt{3} ] [ y = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 ]

Таким образом, координаты точки М в случае б) будут (-4√3, 4).

Эти расчеты показывают, как можно вычислить координаты точки, зная ее полярные координаты (радиус и угол) и переводя их в декартовы координаты.

а) Пусть координаты точки М равны (x, y). Так как угол между лучом ОМ и положительной полуосью ОХ равен α = 60º, то точка М лежит на окружности радиуса 4 с центром в начале координат. Из условия следует, что x = 4cos(60º) = 2 и y = 4sin(60º) = 2√3. Таким образом, координаты точки М равны (2, 2√3).

б) Аналогично предыдущему случаю, координаты точки М будут (x, y). Так как угол между лучом ОМ и положительной полуосью ОХ равен α = 150º, то точка М лежит на окружности радиуса 8 с центром в начале координат. Из условия следует, что x = 8cos(150º) = -4 и y = 8sin(150º) = 4√3. Таким образом, координаты точки М равны (-4, 4√3).