упростить 1)sin(pi/4+a)-cos(pi/4+a)/sin(pi/4+a)+cos(pi/4+a)
2)cosα+cos(60°-α)-sin(30°+α)
упростить 1)sin(pi/4+a)-cos(pi/4+a)/sin(pi/4+a)+cos(pi/4+a)
2)cosα+cos(60°-α)-sin(30°+α)
Давайте упростим оба выражения поочередно.
Сначала воспользуемся формулами приведения для синуса и косинуса:
[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos a + \cos\frac{\pi}{4}\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a + \sin a) ] [ \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos a - \sin\frac{\pi}{4}\sin a = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a - \sin a) ]
Теперь подставим эти выражения в исходное:
[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a + \sin a) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a - \sin a) ]
Упрощаем:
[ = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a + \sin a - \cos a + \sin a) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2\sin a) = \sqrt{2}\sin a ]
Теперь для знаменателя:
[ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a + \sin a) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos a - \sin a) ] [ = \frac{\sqrt{2}}{2}(2\cos a) = \sqrt{2}\cos a ]
Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
[ \frac{\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a ]
Таким образом, результат для первого выражения:
[ \boxed{\tan a} ]
Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрическими формулами.
Сначала упростим ( \cos(60° - \alpha) ) и ( \sin(30° + \alpha) ):
[ \cos(60° - \alpha) = \cos 60° \cos \alpha + \sin 60° \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha ] [ \sin(30° + \alpha) = \sin 30° \cos \alpha + \cos 30° \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha ]
Теперь подставим эти значения в выражение:
[ \cos \alpha + \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) - \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) ]
Сложим:
[ = \cos \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha ]
Сократим:
[ = \cos \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha = \cos \alpha ]
Таким образом, результат для второго выражения:
[ \boxed{\cos \alpha} ]
Рассмотрим каждый пункт по отдельности и постараемся подробно разобрать решение.
[ \frac{\sin(\pi/4 + a) - \cos(\pi/4 + a)}{\sin(\pi/4 + a) + \cos(\pi/4 + a)}. ]
Вспомним, что: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a, ] [ \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a. ]
Числитель: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right). ] Приводим подобные слагаемые: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \sqrt{2} \sin a. ]
Знаменатель: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a\right). ] Приводим подобные слагаемые: [ \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \sqrt{2} \cos a. ]
Теперь выражение становится: [ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right)} = \frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a}. ]
Сокращаем на (\sqrt{2}): [ \frac{\sin a}{\cos a} = \tan a. ]
Ответ: [ \tan a. ]
[ \cos \alpha + \cos (60^\circ - \alpha) - \sin (30^\circ + \alpha). ]
Для удобства вспомним тригонометрические преобразования:
[ \cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha. ]
[ \sin(30^\circ + \alpha) = \sin 30^\circ \cos \alpha + \cos 30^\circ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha. ]
Подставим в исходное выражение: [ \cos \alpha + \cos (60^\circ - \alpha) - \sin (30^\circ + \alpha). ]
Теперь вместо (\cos(60^\circ - \alpha)) и (\sin(30^\circ + \alpha)) подставим разложенные формулы: [ \cos \alpha + \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right) - \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha\right). ]
Складываем и вычитаем: [ \cos \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha. ]
Приводим подобные: [ \cos \alpha. ]
Ответ: [ \cos \alpha. ]
1) Упрощаем выражение: [ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + a) - \cos(\frac{\pi}{4} + a)}{\sin(\frac{\pi}{4} + a) + \cos(\frac{\pi}{4} + a)} ]
Сначала подставим значения для (\sin(\frac{\pi}{4})) и (\cos(\frac{\pi}{4})): (\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}).
Тогда: [ \sin(\frac{\pi}{4} + a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(a) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(a) ] [ \cos(\frac{\pi}{4} + a) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(a) - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(a) ]
Теперь подставляем в выражение и упрощаем, но итоговые шаги могут быть длинными. Тем не менее, результат можно записать как: [ \frac{\sqrt{2}(\sin(a) - \cos(a))}{\sqrt{2}(\sin(a) + \cos(a))} ]
2) Упрощаем выражение: [ \cos\alpha + \cos(60° - \alpha) - \sin(30° + \alpha) ]
Заменим (\cos(60° - \alpha)) и (\sin(30° + \alpha)): [ \cos(60° - \alpha) = \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha ] [ \sin(30° + \alpha) = \frac{1}{2} + \sin\alpha ]
Подставляем: [ \cos\alpha + \left(\frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha\right) - \left(\frac{1}{2} + \sin\alpha\right) ]
Собираем все вместе: [ \cos\alpha + \frac{1}{2} \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin\alpha - \frac{1}{2} - \sin\alpha ]
В результате получаем: [ \frac{3}{2} \cos\alpha + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right)\sin\alpha - \frac{1}{2} ]
Эти упрощения можно дополнительно проверить, если потребуется.
