Упростить выражение ((1+cos^2a)/sina)-sina))*1/2tga

Чтобы упростить выражение (\left(\frac{1+\cos^2 a}{\sin a} - \sin a\right) \cdot \frac{1}{2 \tan a}), давайте разберемся с ним поэтапно.

1. Разложим выражение под первой скобкой:

   [ \frac{1 + \cos^2 a}{\sin a} - \sin a ]

   Разделим на общий знаменатель внутри выражения:

   [ \frac{1 + \cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a} ]

   Учитывая, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), мы можем выразить (\sin^2 a) как (1 - \cos^2 a), и тогда:

   [ 1 + \cos^2 a - \sin^2 a = 1 + \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = 2\cos^2 a ]

   Подставим это обратно:

   [ \frac{2\cos^2 a}{\sin a} ]

2. Подставим это в исходное выражение:

   [ \left(\frac{2\cos^2 a}{\sin a}\right) \cdot \frac{1}{2 \tan a} ]

3. Упростим вторую часть:

   Поскольку (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}), то (\frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}). Значит:

   [ \frac{1}{2 \tan a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = \frac{\cos a}{2 \sin a} ]

4. Объединяем всё вместе и упрощаем:

   [ \frac{2\cos^2 a}{\sin a} \cdot \frac{\cos a}{2 \sin a} = \frac{2\cos^3 a}{2\sin^2 a} ]

   Сократим числитель и знаменатель на 2:

   [ \frac{\cos^3 a}{\sin^2 a} ]

5. Итоговое упрощенное выражение:

   [ \frac{\cos^3 a}{\sin^2 a} = \frac{\cos^3 a}{\sin^2 a} ]

Таким образом, упростив данное выражение, мы получаем (\frac{\cos^3 a}{\sin^2 a}).

Для упрощения данного выражения нам необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами.

1. Заменим (cos^2a) на (1 - sin^2a) (тождество (cos^2a = 1 - sin^2a)).
2. Заменим (tg a) на (\frac{sin a}{cos a}).

Таким образом, ( \frac{(1 + 1 - sin^2a)/sin a - sin a}{2 \frac{sin a}{cos a}} = \frac{(2 - sin^2a)/sin a - sin a}{2 \frac{sin a}{cos a}} = \frac{2 - sin^2a - sin^2a}{2sin a} = \frac{2 - 2sin^2a}{2sin a} = \frac{2(1 - sin^2a)}{2sin a} = \frac{2cos^2a}{2sin a} = \frac{cos^2a}{sin a} ).

Таким образом, упрощенным выражением будет ( \frac{cos^2a}{sin a} ).