Упростите: а) 5 корень из 2 + 2 корень из 32 - корень из 98 б) (4 корень из 3 + корень из 27) * корень...

а) 5√2 + 2√32 - √98 = 5√2 + 2√(216) - √(249) = 5√2 + 2*4√2 - 7√2 = 5√2 + 8√2 - 7√2 = 6√2

б) (4√3 + √27) * √3 = 4√3 + 3√3 = 7√3

в) (√5 - √3)^2 = (√5 - √3)(√5 - √3) = 5 - 2√15 + 3 = 8 - 2√15

г) 6√3 + √27 - 3√75 = 6√3 + 3 - 15√3 = -9√3 + 3

д) (√50 - 2√2) * √2 = 5√2 - 4 = 5√2 - 4

е) (2 - √3)^2 = (2 - √3)(2 - √3) = 4 - 2√3 - 2√3 + 3 = 7 - 4√3

Для упрощения выражений с корнями, часто полезно использовать свойства корней и разложения чисел под корнем на множители. Рассмотрим каждое выражение по очереди.

а) ( 5\sqrt{2} + 2\sqrt{32} - \sqrt{98} )

1. Разложим числа под корнями на множители: [ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} ] [ \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} ]

2. Подставим эти значения в выражение: [ 5\sqrt{2} + 2 \cdot 4\sqrt{2} - 7\sqrt{2} ]

3. Упростим: [ 5\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 7\sqrt{2} = (5 + 8 - 7)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} ]

б) ( (4\sqrt{3} + \sqrt{27}) \cdot \sqrt{3} )

1. Разложим корень: [ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} ]

2. Подставим это значение в выражение: [ (4\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} ]

3. Сложим подкоренные выражения: [ (4 + 3)\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} ]

4. Умножим: [ 7 \cdot 3 = 21 ]

в) ( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 )

1. Используем формулу квадрата разности: ((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) [ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 ]

2. Найдём квадраты корней: [ (\sqrt{5})^2 = 5 ] [ (\sqrt{3})^2 = 3 ]

3. Подставим и упростим: [ 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} ]

г) ( 6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75} )

1. Разложим корни: [ \sqrt{27} = 3\sqrt{3} ] [ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} ]

2. Подставим значения: [ 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 \cdot 5\sqrt{3} ]

3. Упростим: [ 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (6 + 3 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3} ]

д) ( (\sqrt{50} - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} )

1. Разложим корень: [ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} ]

2. Подставим значение: [ (5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} ]

3. Упростим: [ (5 - 2)\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} ]

4. Умножим: [ 3 \cdot 2 = 6 ]

е) ( (2 - \sqrt{3})^2 )

1. Используем формулу квадрата разности: ((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) [ (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 ]

2. Найдём квадраты: [ 2^2 = 4 ] [ (\sqrt{3})^2 = 3 ]

3. Подставим и упростим: [ 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} ]

Таким образом, после упрощения выражения имеют следующий вид: а) ( 6\sqrt{2} ) б) ( 21 ) в) ( 8 - 2\sqrt{15} ) г) ( -6\sqrt{3} ) д) ( 6 ) е) ( 7 - 4\sqrt{3} )