Упростите выражения: 15a^2 b^3 (-2ab^2)^5

Упрощаем выражение:

1. Вычислим ((-2ab^2)^5): ((-2)^5 = -32), (a^5 = a^5), (b^{2 \cdot 5} = b^{10}).

Таким образом, ((-2ab^2)^5 = -32a^5b^{10}).

1. Теперь подставим это в исходное выражение: (15a^2b^3 \cdot (-32a^5b^{10})).

2. Умножим коэффициенты и переменные: (15 \cdot (-32) = -480), (a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7), (b^3 \cdot b^{10} = b^{3+10} = b^{13}).

Итак, итоговое упрощенное выражение: (-480a^7b^{13}).

Упростим выражение ( 15a^2 b^3 (-2ab^2)^5 ) шаг за шагом:

Шаг 1. Разберемся с выражением ( (-2ab^2)^5 ).

Здесь мы возводим в пятую степень произведение (-2ab^2). При возведении произведения в степень, степень применяется ко всем множителям:

[ (-2ab^2)^5 = (-2)^5 \cdot (a)^5 \cdot (b^2)^5 ]

Теперь вычислим каждое из них:

1. ((-2)^5 = -32), так как (-2) возводится в нечетную степень, результат будет отрицательным.
2. ((a)^5 = a^5) (переменные просто возводятся в степень).
3. ((b^2)^5 = b^{2 \cdot 5} = b^{10}) (при возведении степени в степень степени перемножаются).

Итак, ( (-2ab^2)^5 = -32 \cdot a^5 \cdot b^{10} ).

Шаг 2. Подставим это в исходное выражение.

Исходное выражение: [ 15a^2 b^3 (-2ab^2)^5 ] Подставляем: [ 15a^2 b^3 \cdot (-32a^5 b^{10}) ]

Шаг 3. Умножим числовые коэффициенты.

Числовые множители: ( 15 \cdot -32 = -480 ).

Итак, числовая часть у нас равна (-480).

Шаг 4. Умножим степени переменной (a).

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: [ a^2 \cdot a^5 = a^{2+5} = a^7 ]

Шаг 5. Умножим степени переменной (b).

Аналогично для (b): [ b^3 \cdot b^{10} = b^{3+10} = b^{13} ]

Шаг 6. Запишем окончательный результат.

Теперь мы можем записать упрощенное выражение: [ -480a^7b^{13} ]

Ответ:

Упрощенное выражение: [ -480a^7b^{13} ]

Для упрощения выражения ( 15a^2 b^3 (-2ab^2)^5 ) начнем с выполнения операций по порядку.

1. Упрощение степени: Сначала вычислим ( (-2ab^2)^5 ). При возведении в степень мы будем возводить как коэффициенты, так и переменные:

   [ (-2ab^2)^5 = (-2)^5 \cdot (a)^5 \cdot (b^2)^5 ]

   Теперь вычислим каждую часть:

   • ( (-2)^5 = -32 )
   • ( a^5 = a^5 )
   • ( (b^2)^5 = b^{2 \cdot 5} = b^{10} )

   Таким образом, получаем:

   [ (-2ab^2)^5 = -32a^5b^{10} ]

2. Подстановка обратно в выражение: Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:

   [ 15a^2b^3 \cdot (-32a^5b^{10}) ]

3. Умножение коэффициентов и переменных: Теперь умножим коэффициенты и переменные:

   • Коэффициенты: ( 15 \cdot (-32) = -480 )
   • Для ( a ): ( a^2 \cdot a^5 = a^{2 + 5} = a^7 )
   • Для ( b ): ( b^3 \cdot b^{10} = b^{3 + 10} = b^{13} )

   Таким образом, мы получаем:

   [ 15a^2b^3 \cdot (-32a^5b^{10}) = -480a^7b^{13} ]

В итоге, упрощённое выражение:

[ \boxed{-480a^7b^{13}} ]