Упростите выражение
(1-cos 2a-sin a)/(cos a-sin 2a)
Упростите выражение
(1-cos 2a-sin a)/(cos a-sin 2a)
(1 - 2cos^2a - sin a) / (cos a - 2sin^2a)
Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала заметим, что ( \cos 2a = 1 - 2\sin^2 a ) и ( \sin 2a = 2\sin a \cos a ). Теперь подставим эти выражения в исходное:
[ \frac{1 - (1 - 2\sin^2 a) - \sin a}{\cos a - 2\sin a \cos a} ]
[ \frac{1 - 1 + 2\sin^2 a - \sin a}{\cos a - 2\sin a \cos a} ]
[ \frac{2\sin^2 a - \sin a}{\cos a - 2\sin a \cos a} ]
Теперь можем вынести общий множитель из числителя и знаменателя:
[ \frac{\sin a(2\sin a - 1)}{\cos a(1 - 2\sin a)} ]
Таким образом, упрощенное выражение равно ( \frac{\sin a(2\sin a - 1)}{\cos a(1 - 2\sin a)} )
Упростим выражение (\frac{1 - \cos 2a - \sin a}{\cos a - \sin 2a}).
Для начала, воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения выражений (\cos 2a) и (\sin 2a):
Теперь подставим эти тождества в исходное выражение:
[ \frac{1 - (\cos^2 a - \sin^2 a) - \sin a}{\cos a - 2 \sin a \cos a} ]
Упростим числитель:
[ 1 - \cos^2 a + \sin^2 a - \sin a ]
Разделим на части:
[ 1 - \cos^2 a + \sin^2 a - \sin a = (1 - \cos^2 a) + \sin^2 a - \sin a ]
Используем основное тригонометрическое тождество:
[ 1 - \cos^2 a = \sin^2 a ]
Тогда числитель примет вид:
[ \sin^2 a + \sin^2 a - \sin a = 2 \sin^2 a - \sin a ]
Теперь упростим знаменатель:
[ \cos a - 2 \sin a \cos a = \cos a (1 - 2 \sin a) ]
Тогда выражение можно записать так:
[ \frac{2 \sin^2 a - \sin a}{\cos a (1 - 2 \sin a)} ]
Далее, числитель можно разложить на множители:
[ \sin a (2 \sin a - 1) ]
Теперь у нас есть:
[ \frac{\sin a (2 \sin a - 1)}{\cos a (1 - 2 \sin a)} ]
Обратим внимание, что (1 - 2 \sin a = -(2 \sin a - 1)), тогда:
[ \frac{\sin a (2 \sin a - 1)}{\cos a (-(2 \sin a - 1))} ]
Упрощаем:
[ \frac{\sin a (2 \sin a - 1)}{-\cos a (2 \sin a - 1)} ]
Сократим на ((2 \sin a - 1)):
[ \frac{\sin a}{-\cos a} = -\tan a ]
Итак, упрощенное выражение:
[ -\tan a ]
