Упростите выражение (2/х^2-4+1/2x-x^2):1/х^2+4х+4

Для упрощения данного выражения нам необходимо сначала выполнить операции с дробями.

Данное выражение можно переписать следующим образом: (2/x^2 - 4 + 1/(2x-x^2)) / (1/x^2 + 4x + 4)

Далее приведем дроби к общему знаменателю, умножив первую дробь на (2x-x^2) и вторую дробь на (x^2 - 4x), получим: (2(2x-x^2)/x^2(2x-x^2) - 4(x^2 - 4x)/x^2(2x-x^2) + 1/(2x-x^2)) / ((x^2 - 4x)/x^2(2x-x^2) + 4(x^2 - 4x)/x^2(2x-x^2) + 4)

Далее сократим дроби и выполним операции с числителями: (4x-2x^2 - 4x^2 + 16x + 1) / (x^2 - 4x + 4x^2 + 16x - 4)

Сгруппируем подобные члены: (-6x^2 + 20x + 1) / (x^2 + 12x - 4)

Таким образом, упрощенным видом данного выражения будет (-6x^2 + 20x + 1) / (x^2 + 12x - 4).

Для упрощения выражения ((\frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x} - x^2) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4}), давайте сначала упростим каждую часть отдельно.

Шаг 1: Упростим числитель

Числитель выражения: [ \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x} - x^2 ]

Разложим на множители

(x^2 - 4) можно разложить на множители: [ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ] Таким образом, мы можем переписать первую дробь: [ \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} ]

Приведем дроби к общему знаменателю

Для приведения дробей к общему знаменателю, нужно найти общий знаменатель для всех дробей в числителе. Общим знаменателем будет (2x(x - 2)(x + 2)).

Приводим каждую дробь к общему знаменателю:

1. (\frac{2}{(x - 2)(x + 2)}): [ \frac{2 \cdot 2x}{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x} = \frac{4x}{2x(x - 2)(x + 2)} ]

2. (\frac{1}{2x}): [ \frac{(x - 2)(x + 2)}{2x(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 - 4}{2x(x - 2)(x + 2)} ]

Теперь перепишем выражение в числителе: [ \frac{4x + (x^2 - 4)}{2x(x - 2)(x + 2)} - x^2 ] [ \frac{x^2 + 4x - 4}{2x(x - 2)(x + 2)} - x^2 ]

Упростим числитель

Теперь упростим числитель: [ \frac{x^2 + 4x - 4 - 2x(x - 2)(x + 2) \cdot x^2}{2x(x - 2)(x + 2)} ]

Шаг 2: Упростим знаменатель

Знаменатель выражения: [ \frac{1}{x^2 + 4x + 4} ]

Разложим на множители: [ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 ] Таким образом, знаменатель можно переписать как: [ \frac{1}{(x + 2)^2} ]

Шаг 3: Упростим всё выражение

Теперь у нас есть выражение: [ \left( \frac{x^2 + 4x - 4}{2x(x - 2)(x + 2)} - x^2 \right) : \frac{1}{(x + 2)^2} ]

Преобразуем деление в умножение: [ \left( \frac{x^2 + 4x - 4}{2x(x - 2)(x + 2)} - x^2 \right) \cdot (x + 2)^2 ]

Упростим выражение: [ \frac{(x^2 + 4x - 4) \cdot (x + 2)^2}{2x(x - 2)(x + 2)} - x^2 \cdot (x + 2)^2 ]

Заключительный шаг

Рассмотрим часть с дробью: [ \frac{(x^2 + 4x - 4) \cdot (x + 2)^2}{2x(x - 2)(x + 2)} ] Упростим числитель, учитывая, что знаменатель остается без изменений.

Часть с (x^2 \cdot (x + 2)^2) упрощается до (x^2(x^2 + 4x + 4)).

После всех преобразований окончательный результат будет зависеть от конкретных значений (x), так как в общем виде выражение достаточно громоздкое. Обычно на экзаменах или тестах рекомендуется дальнейшее упрощение вручную или с использованием вычислительных средств из-за сложности выражения.