Упростите выражение : а) 2 корень из 27 + 4 корень из 48- 1/5 корень из 75 - 9 корень из 3; б) (3 корень...

а) 2√27 + 4√48 - 1/5√75 - 9√3 = 6√3 + 8√3 - 3√3 - 9√3 = 2√3 б) (3√2 - 2)(4√2 + 7) - 13√2 = 12√2 + 21√2 - 8√2 - 14 - 13√2 = 12√2 + 21√2 - 8√2 - 14 - 13√2 = 12√2 + 21√2 - 21√2 - 14 = 12√2 - 14 в) (3√2 + 2)^2 + (6 - √2)^2 = (9√2 + 4) + (36 - 12√2 + 2) = 9√2 + 4 + 36 - 12√2 + 2 = 9√2 - 12√2 + 4 + 36 + 2 = -3√2 + 42

Разберём каждый пункт по отдельности, чтобы упростить выражения.

Пункт а) 2√27 + 4√48 - 1/5√75 - 9√3

Для начала, упростим каждый корень:

1. ( \sqrt{27} ): [ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} ] [ 2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} ]

2. ( \sqrt{48} ): [ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} ] [ 4\sqrt{48} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} ]

3. ( \sqrt{75} ): [ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} ] [ -\frac{1}{5}\sqrt{75} = -\frac{1}{5} \cdot 5\sqrt{3} = -\sqrt{3} ]

4. ( 9\sqrt{3} ): [ 9\sqrt{3} ]

Теперь сложим все преобразованные выражения: [ 6\sqrt{3} + 16\sqrt{3} - \sqrt{3} - 9\sqrt{3} ]

Собрав все слагаемые: [ (6 + 16 - 1 - 9) \sqrt{3} = 12\sqrt{3} ]

Пункт б) ( (3\sqrt{2} - 2)(4\sqrt{2} + 7) - 13\sqrt{2} )

Выполним умножение по распределительному закону:

[ (3\sqrt{2} - 2)(4\sqrt{2} + 7) ]

Раскроем скобки: [ = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \cdot 7 - 2 \cdot 4\sqrt{2} - 2 \cdot 7 ] [ = 3 \cdot 4 \cdot (\sqrt{2})^2 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 ] [ = 3 \cdot 4 \cdot 2 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 ] [ = 24 + 21\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 14 ] [ = 10 + 13\sqrt{2} ]

Теперь вычтем ( 13\sqrt{2} ): [ 10 + 13\sqrt{2} - 13\sqrt{2} = 10 ]

Пункт в) ( (3\sqrt{2} + 2)^2 + (6 - \sqrt{2})^2 )

Раскроем квадрат суммы и разности:

1. ( (3\sqrt{2} + 2)^2 ): [ = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2 + 2^2 ] [ = 9 \cdot 2 + 12\sqrt{2} + 4 ] [ = 18 + 12\sqrt{2} + 4 ] [ = 22 + 12\sqrt{2} ]

2. ( (6 - \sqrt{2})^2 ): [ = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 ] [ = 36 - 12\sqrt{2} + 2 ] [ = 38 - 12\sqrt{2} ]

Теперь сложим оба результата: [ (22 + 12\sqrt{2}) + (38 - 12\sqrt{2}) ] [ = 22 + 38 + 12\sqrt{2} - 12\sqrt{2} ] [ = 60 ]

Итак, итоговые результаты: а) ( 12\sqrt{3} ) б) ( 10 ) в) ( 60 )

а) 2√27 + 4√48 - 1/5√75 - 9√3 = 2√(3^3) + 4√(163) - 1/5√(253) - 9√3 = 23√3 + 44√3 - 1/5*5√3 - 9√3 = 6√3 + 16√3 - √3 - 9√3 = 22√3 - 9√3 = 13√3

б) (3√2 - 2)(4√2 + 7) - 13√2 = 12√(2^2) + 21√2 - 8√2 - 14 = 12*2√2 + 21√2 - 8√2 - 14 = 24√2 + 21√2 - 8√2 - 14 = 37√2 - 8√2 - 14 = 29√2 - 14

в) (3√2 + 2)^2 + (6 - √2)^2 = (3√2 + 2)(3√2 + 2) + (6 - √2)(6 - √2) = 9*2 + 4√2 + 6√2 + 4 + 36 - 12√2 + 2 = 18 + 10√2 + 4 + 36 - 12√2 + 2 = 60 - 2√2