Упростите выражение: (a-b /a^1/2-b^1/2 - a^3/2-b^3/2 / a-b) * (b^1/2 + a^1/2)

Чтобы упростить выражение

[ \left( \frac{a-b}{a^{1/2}-b^{1/2}} - \frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b} \right) \times (b^{1/2} + a^{1/2}), ]

следуем нескольким шагам:

1. Упростим первую дробь: (\frac{a-b}{a^{1/2}-b^{1/2}}).

   Здесь можно использовать формулу разности квадратов:

   [ a-b = (a^{1/2})^2 - (b^{1/2})^2 = (a^{1/2} - b^{1/2})(a^{1/2} + b^{1/2}). ]

   Таким образом, дробь становится:

   [ \frac{a-b}{a^{1/2}-b^{1/2}} = a^{1/2} + b^{1/2}. ]

2. Упростим вторую дробь: (\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b}).

   Здесь можно применить формулу разности кубов:

   [ a^{3/2} - b^{3/2} = (a^{1/2} - b^{1/2})(a + a^{1/2}b^{1/2} + b). ]

   Таким образом, дробь становится:

   [ \frac{a^{3/2} - b^{3/2}}{a-b} = a^{1/2} + b. ]

3. Объединим результаты:

   Подставив упрощенные выражения обратно, получаем:

   [ \left( (a^{1/2} + b^{1/2}) - (a^{1/2} + b) \right) \times (b^{1/2} + a^{1/2}). ]

   Упростив разность в скобках, имеем:

   [ a^{1/2} + b^{1/2} - a^{1/2} - b = b^{1/2} - b. ]

4. Перемножим полученные выражения:

   Теперь перемножаем:

   [ (b^{1/2} - b) \times (b^{1/2} + a^{1/2}). ]

   Это произведение разности и суммы, что можно также упростить:

   [ b^{1/2}(b^{1/2} + a^{1/2}) - b(b^{1/2} + a^{1/2}). ]

   Раскроем скобки:

   [ b^{1/2} \times b^{1/2} + b^{1/2} \times a^{1/2} - b \times b^{1/2} - b \times a^{1/2}. ]

   Упрощаем:

   [ b + b^{1/2}a^{1/2} - b^{3/2} - ba^{1/2}. ]

   Таким образом, упростив выражение, получаем:

   [ b - b^{3/2} + b^{1/2}a^{1/2} - ba^{1/2}. ]

Это и будет окончательным упрощенным выражением.

Для упрощения данного выражения необходимо привести его к общему знаменателю и выполнить действия с числителем.

Сначала приведем числители к общему знаменателю:

(a-b) / (a^1/2 - b^1/2) = (a-b)(a^1/2 + b^1/2) / (a-b) = a^1/2 + b^1/2 (a^3/2 - b^3/2) / (a-b) = (a^1/2 - b^1/2)(a+b) / (a-b) = - (a^1/2 - b^1/2)

Теперь подставим преобразованные числители в изначальное выражение:

(a^1/2 + b^1/2) (b^1/2 + a^1/2) = a^1/2 b^1/2 + a^1/2 a^1/2 + b^1/2 b^1/2 + a^1/2 * b^1/2 = a + a + b + ab = 2a + 2b + ab

Итак, упрощенное выражение равно 2a + 2b + ab.