Упростите выражение А) sin^2 альфа +cos^2 альфа+tg^2 вэта Б) tg альфа / ctg альфа * (1-sin^2 альфа)

Конечно, давайте упростим оба выражения.

А) ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \beta )

1. Основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Это тождество справедливо для всех значений угла (\alpha).

2. Подстановка в выражение: Подставим основное тригонометрическое тождество в наше выражение: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \beta = 1 + \tan^2 \beta ]

Таким образом, упрощенное выражение для пункта А: [ 1 + \tan^2 \beta ]

Б) ( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} \times (1 - \sin^2 \alpha) )

1. Определение тригонометрических функций: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ]

2. Выражение отношения (\frac{\tan \alpha}{\cot \alpha}): [ \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha ]

3. Упростим выражение ((1 - \sin^2 \alpha)): Используя тождество (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1), получаем: [ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha ]

4. Подстановка в исходное выражение: Подставим полученные упрощения: [ \tan^2 \alpha \times \cos^2 \alpha ]

5. Упростим окончательное выражение: [ \tan^2 \alpha \times \cos^2 \alpha = \left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) \times \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha ]

Таким образом, упрощенное выражение для пункта Б: [ \sin^2 \alpha ]

В итоге, для каждого из пунктов мы получили следующие упрощенные выражения:

• А) (1 + \tan^2 \beta)
• Б) (\sin^2 \alpha)

А) Для упрощения выражения sin^2 альфа + cos^2 альфа + tg^2 вэта применим тригонометрические тождества. Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: sin^2 альфа + cos^2 альфа = 1. Заменим sin^2 альфа + cos^2 альфа на 1. Получим: 1 + tg^2 вэта.

Далее воспользуемся другим тригонометрическим тождеством: tg^2 x = sec^2 x - 1. Заменим tg^2 вэта на sec^2 вэта - 1. Теперь выражение будет выглядеть так: 1 + (sec^2 вэта - 1). Упрощаем: 1 + sec^2 вэта - 1 = sec^2 вэта.

Таким образом, упрощенное выражение sin^2 альфа + cos^2 альфа + tg^2 вэта равно sec^2 вэта.

Б) Для упрощения выражения tg альфа / ctg альфа * (1 - sin^2 альфа) сначала запишем tg альфа и ctg альфа через sin и cos: tg альфа = sin альфа / cos альфа, ctg альфа = cos альфа / sin альфа.

Подставим это в исходное выражение: (sin альфа / cos альфа) / (cos альфа / sin альфа) * (1 - sin^2 альфа).

Упрощаем дробь: (sin альфа / cos альфа) (sin альфа / cos альфа) (1 - sin^2 альфа). Получаем: (sin^2 альфа / cos^2 альфа) * (1 - sin^2 альфа).

Упрощаем дальше: sin^2 альфа * (1 - sin^2 альфа) / cos^2 альфа.

Таким образом, упрощенное выражение tg альфа / ctg альфа (1 - sin^2 альфа) равно sin^2 альфа (1 - sin^2 альфа) / cos^2 альфа.

А) 1 Б) tg^2 альфа