Упростите выражение cos(pi/2+t)*ctg(-t)/sin(pi/2-t)

Для упрощения выражения (\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \cdot \cot(-t) / \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)), давайте сначала используем тригонометрические преобразования.

1. Рассмотрим (\cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right)): [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = -\sin(t) ] Это следует из тригонометрического тождества для косинуса суммы: (\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta). В данном случае (\alpha = \frac{\pi}{2}) и (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0), (\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1). Поэтому: [ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 0 \cdot \cos(t) - 1 \cdot \sin(t) = -\sin(t) ]

2. Рассмотрим (\cot(-t)): [ \cot(-t) = \frac{\cos(-t)}{\sin(-t)} ] Используя четность косинуса ((\cos(-t) = \cos(t))) и нечетность синуса ((\sin(-t) = -\sin(t))), получаем: [ \cot(-t) = \frac{\cos(t)}{-\sin(t)} = -\cot(t) ]

3. Рассмотрим (\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)): [ \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cos(t) ] Это следует из тригонометрического тождества для синуса разности: (\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta). В данном случае (\alpha = \frac{\pi}{2}) и (\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1), (\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0). Поэтому: [ \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = 1 \cdot \cos(t) - 0 \cdot \sin(t) = \cos(t) ]

Теперь подставим все упрощенные выражения в исходную формулу:

[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) \cdot \cot(-t) / \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = -\sin(t) \cdot (-\cot(t)) / \cos(t) ]

Заметим, что (\cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}), тогда:

[ -\sin(t) \cdot (-\cot(t)) / \cos(t) = -\sin(t) \cdot \left(-\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\right) / \cos(t) ]

Упростим выражение:

[ -\sin(t) \cdot \left(\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\right) / \cos(t) = -\sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} \cdot \frac{1}{\cos(t)} ]

Сокращаем (\sin(t)) и (\cos(t)):

[ -\frac{\sin(t)}{\sin(t)} \cdot \frac{\cos(t)}{\cos(t)} = -1 ]

Таким образом, упрощенное выражение равно (-1).

Для упрощения данного выражения нам необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами.

cos(pi/2 + t) = sin(t), ctg(-t) = -1/tg(t) = -cos(t)/sin(t), sin(pi/2 - t) = cos(t).

Теперь подставим данные значения:

(sin(t) * (-cos(t)/sin(t))) / cos(t) = -cos(t)

Таким образом, упрощенное выражение равно -cos(t).

Ответ: -1.