Упростите выражение sin^2a-1/cos^a-1+tga ctga

sin^2a-1/cos^a-1+tga ctga = tan^2a + cot^2a.

Давайте упростим выражение (\frac{\sin^2 a - 1}{\cos^a - 1} + \tan a \cdot \cot a).

1. Рассмотрим первое слагаемое (\frac{\sin^2 a - 1}{\cos^a - 1}).

   Для этого преобразуем числитель (\sin^2 a - 1). Используем тригонометрическое тождество (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), откуда (\sin^2 a = 1 - \cos^2 a). Тогда:

   [ \sin^2 a - 1 = (1 - \cos^2 a) - 1 = -\cos^2 a ]

   Таким образом, выражение принимает вид:

   [ \frac{-\cos^2 a}{\cos^a - 1} ]

2. Обратим внимание, что в знаменателе (\cos^a - 1) присутствует некорректное обозначение. Предположим, что это опечатка и должно быть (\cos a - 1). Тогда:

   [ \frac{-\cos^2 a}{\cos a - 1} ]

   Теперь разделим числитель и знаменатель на (\cos a + 1):

   [ \frac{-\cos^2 a}{\cos a - 1} = \frac{-\cos^2 a}{(\cos a - 1)(\cos a + 1)} ]

   Заметим, что (\cos^2 a = (\cos a)^2), то есть:

   [ \frac{-\cos^2 a}{(\cos a - 1)(\cos a + 1)} = \frac{-(\cos a)^2}{(\cos a - 1)(\cos a + 1)} = \frac{-\cos a}{\cos a + 1} ]

   Однако, это все еще не упрощает выражение до конца. Предположим, что задача имеет смысл в контексте (a = \pi) или другие значения, когда (\cos a = 1) или (\cos a = -1).

3. Второе слагаемое: (\tan a \cdot \cot a).

   Используем определение тангенса и котангенса:

   [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} ]

   Тогда их произведение:

   [ \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1 ]

Таким образом, наше исходное выражение принимает вид:

[ \frac{\sin^2 a - 1}{\cos^a - 1} + 1 ]

Используя результаты выше и при условии, что (\cos^a - 1) должно быть (\cos a - 1):

[ \frac{-\cos^2 a}{\cos a - 1} + 1 ]

Это выражение может быть дополнительно упрощено, но требует корректной интерпретации начальных условий. Поэтому итоговую форму при правильной формулировке можно уточнить.

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Начнем с раскрытия квадратов синуса и косинуса: sin^2a = (1 - cos(2a))/2 cos^2a = (1 + cos(2a))/2

Подставим эти равенства в исходное выражение: (sin^2a - 1)/(cos^2a - 1) + tg(a)ctg(a) = ((1 - cos(2a))/2 - 1)/((1 + cos(2a))/2 - 1) + tg(a)ctg(a)

Далее упростим числитель и знаменатель: (1 - cos(2a))/2 - 1 = (1 - cos(2a) - 2)/(2) = (1 - cos(2a) - 2)/2 = (-cos(2a) - 1)/2 (1 + cos(2a))/2 - 1 = (1 + cos(2a) - 2)/(2) = (1 + cos(2a) - 2)/2 = (cos(2a) - 1)/2

Подставим полученные значения в исходное выражение: ((-cos(2a) - 1)/2) / ((cos(2a) - 1)/2) + tg(a)ctg(a) = (-cos(2a) - 1)/(cos(2a) - 1) + tg(a)ctg(a)

Теперь воспользуемся формулами тангенса: tg(a) = sin(a)/cos(a) ctg(a) = cos(a)/sin(a)

Подставим их в исходное выражение: (-cos(2a) - 1)/(cos(2a) - 1) + (sin(a)/cos(a))(cos(a)/sin(a)) = (-cos(2a) - 1)/(cos(2a) - 1) + 1

Таким образом, упрощенное выражение равно (-cos(2a) - 1)/(cos(2a) - 1) + 1.