Упростите выражение синус (п-альфа)/ 2cos(П/2+альфа)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой половинного угла для синуса: sin(a/2) = ±√((1 - cos(a))/2)

Используем данную формулу для выражения sin((π-α)/2):

sin((π-α)/2) = ±√((1 - cos(π-α))/2)

Так как cos(π-α) = -cos(α), заменим это значение:

sin((π-α)/2) = ±√((1 + cos(α))/2)

Теперь перейдем к упрощению знаменателя выражения:

2cos(π/2+α) = 2cos(π/2)cos(α) - 2sin(π/2)sin(α) = 0 - 2 1 sin(α) = -2sin(α)

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

sin((π-α)/2) / 2cos(π/2+α) = (±√((1 + cos(α))/2)) / (-2sin(α)) = -√((1 + cos(α))/8sin(α))

Таким образом, упрощенное выражение равно -√((1 + cos(α))/8sin(α)).

(п-альфа) / 2cos(П/2+альфа) = sin(п - альфа) / 2sin(П/2 + альфа) = -sin(альфа) / 2cos(альфа) = -tan(альфа) / 2

Чтобы упростить выражение (\frac{\sin(\pi - \alpha)}{2\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)}), начнем с преобразования каждой из тригонометрических функций.

1. Упростим числитель: (\sin(\pi - \alpha))

   Формула приведения для синуса: (\sin(\pi - \alpha) = \sin(\pi) \cos(\alpha) - \cos(\pi) \sin(\alpha)).

   Поскольку (\sin(\pi) = 0) и (\cos(\pi) = -1), мы имеем:

   [ \sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - (-1) \cdot \sin(\alpha) = \sin(\alpha). ]

2. Упростим знаменатель: (2\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha))

   Формула приведения для косинуса: (\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2}) \cos(\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2}) \sin(\alpha)).

   Поскольку (\cos(\frac{\pi}{2}) = 0) и (\sin(\frac{\pi}{2}) = 1), мы имеем:

   [ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 0 \cdot \cos(\alpha) - 1 \cdot \sin(\alpha) = -\sin(\alpha). ]

   Следовательно, (2\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 2(-\sin(\alpha)) = -2\sin(\alpha)).

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

[ \frac{\sin(\alpha)}{-2\sin(\alpha)}. ]

1. Сократим дробь:

   Если (\sin(\alpha) \neq 0), то дробь упрощается следующим образом:

   [ \frac{\sin(\alpha)}{-2\sin(\alpha)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}. ]

Таким образом, упрощенное выражение равно (-\frac{1}{2}), при условии, что (\sin(\alpha) \neq 0).