Упростите выражение x^2-4/4x^2*2x/x+2 и найдите его значение при x=4

Для упрощения выражения ( \frac{x^2 - 4}{4x^2} \cdot \frac{2x}{x + 2} ) начнём с разложения квадратного трёхчлена в числителе первой дроби:

1. ( x^2 - 4 ) является разностью квадратов и может быть разложен как: [ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ]

   Теперь выражение принимает вид: [ \frac{(x - 2)(x + 2)}{4x^2} \cdot \frac{2x}{x + 2} ]

2. Найдём возможности для сокращения. Заметим, что ( x + 2 ) в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби сокращаются. Предполагаем, что ( x \neq -2 ), чтобы избежать деления на ноль. Также ( 4x^2 ) можно рассматривать как ( 4 \cdot x^2 ), что даёт возможность сократить ( 2x ) из второй дроби и ( x ) из знаменателя первой дроби:

   [ \frac{x - 2}{4x} \cdot 2x = \frac{(x - 2) \cdot 2x}{4x} = \frac{2x(x - 2)}{4x} ]

   Здесь ( x ) в числителе и знаменателе также сокращаются (при условии, что ( x \neq 0 )).

   Окончательно получаем: [ \frac{2(x - 2)}{4} = \frac{x - 2}{2} ]

   Теперь выражение упрощено до ( \frac{x - 2}{2} ).

Теперь найдем значение этого выражения при ( x = 4 ): [ \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 ]

Итак, значение упрощённого выражения при ( x = 4 ) равно 1.

Для упрощения данного выражения, сначала выполняем операции в числителе и знаменателе:

x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

4x^2 * 2x = 8x^3

Теперь подставляем полученные значения обратно в исходное выражение:

[(x + 2)(x - 2)] / (8x^3) * x / (x + 2)

Теперь сокращаем общие множители:

[(x - 2)] / (8x^2)

Подставляем значение x=4:

[(4 - 2)] / (8*4^2) = 2 / 128 = 1 / 64

Таким образом, значение выражения при x=4 равно 1/64.