Упростите выражение:(ctg^2a-cos^2a)(1/cos^2a-1) Пожалуйста

Конечно, давайте упростим выражение ((\cot^2 a - \cos^2 a)\left(\frac{1}{\cos^2 a} - 1\right)).

Для начала, напомним определения и важные тригонометрические тождества:

• (\cot a = \frac{\cos a}{\sin a})
• (1 = \sin^2 a + \cos^2 a)

Теперь приступим к упрощению.

1. Преобразуем (\cot^2 a) в выражении ((\cot^2 a - \cos^2 a)): [ \cot^2 a = \left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)^2 = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} ]

Таким образом, выражение (\cot^2 a - \cos^2 a) станет: [ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \cos^2 a ]

1. Найдем общий знаменатель: [ \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \cos^2 a = \frac{\cos^2 a - \cos^2 a \sin^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a (1 - \sin^2 a)}{\sin^2 a} ]

2. Используем основное тригонометрическое тождество (1 = \sin^2 a + \cos^2 a), из которого следует, что (1 - \sin^2 a = \cos^2 a): [ \frac{\cos^2 a (1 - \sin^2 a)}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} ]

Теперь займемся второй частью выражения: (\left(\frac{1}{\cos^2 a} - 1\right)).

1. Преобразуем: [ \frac{1}{\cos^2 a} - 1 = \frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} ]

2. Используем основное тригонометрическое тождество (1 = \sin^2 a + \cos^2 a), из которого следует, что (1 - \cos^2 a = \sin^2 a): [ \frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} ]

Теперь умножим обе упрощенные части выражения: [ \left(\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}\right) \left(\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right) ]

1. Упрощаем произведение: [ \frac{\cos^4 a}{\sin^2 a} \cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^4 a \cdot \sin^2 a}{\sin^2 a \cdot \cos^2 a} = \frac{\cos^2 a}{1} = \cos^2 a ]

Таким образом, упрощенное выражение: [ (\cot^2 a - \cos^2 a)\left(\frac{1}{\cos^2 a} - 1\right) = \cos^2 a ]

Для упрощения данного выражения нам нужно раскрыть скобки и преобразовать все тригонометрические функции в более простые.

1. Раскроем скобки: (ctg^2a - cos^2a)(1/cos^2a - 1) = ctg^2a/cos^2a - ctg^2a - cos^2a/cos^2a + cos^2a

2. Преобразуем тангенс котангенс: ctg^2a/cos^2a = (1/tg^2a)/cos^2a = cos^2a/sin^2a * 1/cos^2a = 1/sin^2a = csc^2a

3. Преобразуем косинус: cos^2a/cos^2a = 1

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение: csc^2a - ctg^2a - 1 + cos^2a = csc^2a - ctg^2a - 1 + cos^2a

Таким образом, упрощенное выражение равно csc^2a - ctg^2a - 1 + cos^2a.