Установить, равносильны ли неравенства x-7/1+x^2>0 и (7-x)*(2+x^2)

Для того чтобы оценить, равносильны ли неравенства ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ) и ( (7-x)(2+x^2) ), необходимо сначала понять выражения и затем определить, какие значения ( x ) удовлетворяют каждое из них.

Шаг 1: Анализ первого неравенства

Рассмотрим неравенство ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ).

1. Знаменатель ( 1 + x^2 ) всегда положителен, так как ( x^2 ) неотрицательно для всех ( x ) и добавление 1 делает выражение строго положительным.

2. Значит, знак всего выражения ( \frac{x-7}{1+x^2} ) зависит исключительно от числителя ( x-7 ).

3. Числитель ( x-7 ) положителен, когда ( x > 7 ). Поэтому ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ) при ( x > 7 ).

Шаг 2: Анализ второго выражения

Теперь рассмотрим выражение ( (7-x)(2+x^2) ).

1. ( 2 + x^2 ) всегда положительно по той же причине, что и знаменатель в первом неравенстве: ( x^2 ) неотрицательно, и добавление 2 делает выражение строго положительным.

2. Знак всего произведения ( (7-x)(2+x^2) ) будет определяться знаком множителя ( 7-x ).

3. ( 7-x ) положительно, когда ( x < 7 ).

Шаг 3: Сравнение

• Первое неравенство ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ) выполняется при ( x > 7 ).
• Второе выражение ( (7-x)(2+x^2) ) положительно при ( x < 7 ).

Вывод

Неравенства ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ) и ( (7-x)(2+x^2) ) не равносильны, поскольку они выполняются при различных диапазонах значений ( x ).

• ( \frac{x-7}{1+x^2} > 0 ) выполняется при ( x > 7 ).
• ( (7-x)(2+x^2) ) положительно, когда ( x < 7 ).

Таким образом, данные неравенства не эквивалентны.

Для установления равносильности неравенств нужно решить оба неравенства и сравнить их множества решений.

Для начала преобразуем неравенство x-7/1+x^2>0, чтобы упростить его форму.

x - 7 / (1 + x^2) > 0

Умножаем обе части неравенства на (1 + x^2), получаем:

x - 7 > 0 + 0

x - 7 > 0

x > 7

Теперь преобразуем уравнение (7 - x) * (2 + x^2):

(7 - x) * (2 + x^2)

2(7 - x) + x^2(7 - x)

14 - 2x + 7x - x^2

14 + 5x - x^2

Теперь сравним два полученных выражения:

x > 7 и 14 + 5x - x^2

Так как x > 7, то 5x будет больше 35. Таким образом, выражение 14 + 5x - x^2 будет больше 14 + 35 - 49 = 0, что означает, что данное уравнение равносильно неравенству x - 7 / (1 + x^2) > 0.