В арифметической прогрессии (аn): а5=11, а8=17. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Для решения задачи найдем первый член прогрессии (а1) и шаг прогрессии (d).

Используем формулу для нахождения члена арифметической прогрессии: аn = а1 + (n-1)d

Подставим данные: а5 = а1 + 4d = 11 а8 = а1 + 7d = 17

Теперь решим систему уравнений: 1) а1 + 4d = 11 2) а1 + 7d = 17

Вычтем из второго уравнения первое: 3d = 6 d = 2

Подставим найденное значение d в первое уравнение: а1 + 4*2 = 11 а1 + 8 = 11 а1 = 3

Таким образом, первый член прогрессии (а1) равен 3, а шаг прогрессии (d) равен 2.

Теперь найдем сумму первых десяти членов арифметической прогрессии по формуле: S10 = (2а1 + (n-1)d)n/2 S10 = (23 + (10-1)2)10/2 S10 = (6 + 92)5 S10 = (6 + 18)5 S10 = 245 S10 = 120

Следовательно, сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 120.

Для решения задачи найдем сначала разность (d) арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

[ a_n = a_1 + (n - 1)d ]

Итак, у нас есть два уравнения для (a_5) и (a_8): [ a_5 = a_1 + 4d = 11 ] [ a_8 = a_1 + 7d = 17 ]

Вычтем первое уравнение из второго: [ (a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 17 - 11 ] [ 3d = 6 ] [ d = 2 ]

Теперь подставим значение (d) в одно из уравнений, чтобы найти (a_1). Возьмем, например, уравнение для (a_5): [ a_1 + 4d = 11 ] [ a_1 + 4 \cdot 2 = 11 ] [ a_1 + 8 = 11 ] [ a_1 = 3 ]

Теперь, когда мы знаем (a_1) и (d), можем найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Сумма первых (n) членов арифметической прогрессии (S_n) вычисляется по формуле:

[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) ]

Для первых десяти членов ((n = 10)) подставим известные значения (a_1 = 3) и (d = 2):

[ S{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 3 + (10-1) \cdot 2) ] [ S{10} = 5 (6 + 18) ] [ S{10} = 5 \cdot 24 ] [ S{10} = 120 ]

Итак, сумма первых десяти членов этой арифметической прогрессии равна 120.