В какой точке нужно провести касательную к графику y=3/x чтобы она пересекла ось ординат в точке (0;6)

Чтобы найти точку, в которой касательная к графику функции ( y = \frac{3}{x} ) пересекает ось ординат в точке ( (0;6) ), нужно следовать следующим шагам:

1. Найти производную функции:

   Функция ( y = \frac{3}{x} ) может быть переписана как ( y = 3x^{-1} ). Для нахождения производной используем правило дифференцирования степенной функции:

   [ y' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2} ]

   Производная ( y' ) дает наклон касательной к кривой в любой точке ( x ).

2. Определить уравнение касательной:

   Уравнение касательной в точке ( (x_0, y_0) ) на графике ( y = \frac{3}{x} ) можно записать как:

   [ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) ]

   Здесь ( y_0 = \frac{3}{x_0} ) и ( y'(x_0) = -\frac{3}{x_0^2} ). Подставим в уравнение касательной:

   [ y - \frac{3}{x_0} = -\frac{3}{x_0^2}(x - x_0) ]

   Упростим это уравнение:

   [ y = -\frac{3}{x_0^2}x + \frac{3}{x_0^2}x_0 + \frac{3}{x_0} ]

   [ y = -\frac{3}{x_0^2}x + \frac{6}{x_0} ]

3. Найти точку пересечения с осью ординат:

   Точка пересечения с осью ординат имеет ( x = 0 ). Подставим в уравнение касательной:

   [ 6 = -\frac{3}{x_0^2} \cdot 0 + \frac{6}{x_0} ]

   [ 6 = \frac{6}{x_0} ]

   Решим уравнение для ( x_0 ):

   [ x_0 = 1 ]

4. Проверка:

   Подставим ( x_0 = 1 ) в исходную функцию, чтобы найти ( y_0 ):

   [ y_0 = \frac{3}{1} = 3 ]

   Теперь уравнение касательной будет:

   [ y - 3 = -3(x - 1) ]

   [ y = -3x + 3 + 3 = -3x + 6 ]

   Подставим ( x = 0 ) для нахождения точки пересечения с осью ординат:

   [ y = -3 \cdot 0 + 6 = 6 ]

   Таким образом, касательная проходит через точку ( (0; 6) ) на оси ординат, как и требовалось.

Ответ: касательная должна быть проведена в точке ( x = 1 ) графика ( y = \frac{3}{x} ).

Для того чтобы найти точку касания касательной к графику функции y=3/x, через которую проходит точка (0;6), можно воспользоваться методом нахождения производной функции и уравнения касательной.

Сначала найдем производную функции y=3/x. Для этого преобразуем функцию в вид y=3x^(-1) и возьмем производную: y' = -3x^(-2)

Теперь найдем уравнение касательной в точке (a;3/a) (точка на графике функции y=3/x): y - 3/a = -3a^(-2)(x - a)

Поскольку касательная проходит через точку (0;6), подставим значения координат этой точки в уравнение касательной: 6 - 3/a = -3a^(-2)(0 - a) 6 - 3/a = 3a^(-1)

Теперь найдем значение a, при котором уравнение касательной проходит через точку (0;6): 6 - 3/a = 3a^(-1) 6a - 3 = 3 6a = 6 a = 1

Таким образом, точка касания касательной к графику функции y=3/x, через которую проходит точка (0;6), находится в точке (1;3).

Для проведения касательной к графику y=3/x, пересекающей ось ординат в точке (0;6), необходимо провести ее из точки (0;6).