В партии из 12 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой комбинаторики. Всего у нас 12 изделий, из которых 5 дефектных. Таким образом, количество способов выбрать 4 изделия из 12 можно вычислить по формуле C(12,4) = 495.

Теперь рассмотрим количество способов выбрать 2 дефектных из 5 и 2 недефектных из 7 (12-5=7). Это можно вычислить по формуле C(5,2) C(7,2) = 10 21 = 210.

Итак, вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов: P = 210/495 ≈ 0.4242 или около 42.42%.

Для решения задачи о вероятности того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия окажутся дефектными, воспользуемся комбинаторикой и формулой гипергеометрического распределения.

Дано:

• Общее количество изделий: ( N = 12 ).
• Количество дефектных изделий: ( K = 5 ).
• Количество выбираемых изделий: ( n = 4 ).
• Количество дефектных изделий среди выбранных: ( k = 2 ).

Формула гипергеометрического распределения:

[ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} ]

где (\binom{a}{b}) — это число сочетаний, равное:

[ \binom{a}{b} = \frac{a!}{b!(a-b)!} ]

Рассчитаем каждую часть формулы:

1. (\binom{K}{k}) — количество способов выбрать 2 дефектных изделия из 5: [ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 ]

2. (\binom{N-K}{n-k}) — количество способов выбрать 2 исправных изделия из оставшихся 7 (12 - 5 = 7): [ \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 ]

3. (\binom{N}{n}) — общее количество способов выбрать 4 изделия из 12: [ \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 ]

Подставляем в формулу:

[ P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \times 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0.4242 ]

Таким образом, вероятность того, что из 4 случайно выбранных изделий ровно 2 окажутся дефектными, составляет приблизительно 0.4242 или 42.42%.