В прямоугольной треугольники гипотенуза равна 13см, а один катает на 7 см больше другого. Найдите площадь...

Для решения задачи начнем с обозначений и применения теоремы Пифагора.

Пусть один из катетов равен ( x ) см. Тогда второй катет, по условию задачи, будет на 7 см больше, то есть ( x + 7 ) см.

Имеем прямоугольный треугольник с катетами ( x ) и ( x + 7 ) и гипотенузой 13 см. По теореме Пифагора для такого треугольника выполняется равенство: [ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение: [ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 ] [ x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 ] [ 2x^2 + 14x + 49 = 169 ]

Теперь перенесем 169 на левую сторону уравнения и упростим: [ 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 ] [ 2x^2 + 14x - 120 = 0 ]

Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: [ x^2 + 7x - 60 = 0 ]

Решим квадратное уравнение методом дискриминанта. Дискриминант (D) для уравнения вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) вычисляется по формуле: [ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае: [ a = 1, \; b = 7, \; c = -60 ] [ D = 7^2 - 4 \cd. 1 \cd. (-60) ] [ D = 49 + 240 ] [ D = 289 ]

Теперь найдем корни уравнения по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения: [ x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cd. 1} ] [ x = \frac{-7 \pm 17}{2} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 ] [ x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 ]

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, принимаем ( x = 5 ).

Таким образом, один катет равен 5 см, а второй катет: [ x + 7 = 5 + 7 = 12 ] см.

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: [ S = \frac{1}{2} \cd. 5 \cd. 12 ] [ S = \frac{1}{2} \cd. 60 ] [ S = 30 \text{ см}^2 ]

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 30 см².

Для решения данной задачи нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника. Пусть один катет равен x см, тогда другой катет будет x + 7 см. Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

x^2 + (x + 7)^2 = 13^2

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 2x^2 + 14x - 120 = 0 x^2 + 7x - 60 = 0 (x + 12)(x - 5) = 0

Отсюда получаем, что x = 5 (положительный корень, так как длина стороны не может быть отрицательной). Таким образом, один катет равен 5 см, а другой - 12 см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле S = (a * b) / 2, где a и b - катеты. Подставляем значения:

S = (5 * 12) / 2 S = 30 кв. см

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 30 квадратным сантиметрам.