В прямоугольном треугольнике ABC угла А=90 градусов, AB=20 см; высота АД=12 см Найдите АС и cos C

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой Пифагора.

1. Нахождение АС

Дано:

• ( \triangle ABC ) — прямоугольный с ( \angle A = 90^\circ )
• ( AB = 20 ) см — гипотенуза треугольника
• ( AD = 12 ) см — высота, опущенная на гипотенузу

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, которые являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим длины этих отрезков как ( x ) и ( y ). Тогда: [ x + y = 20 ] (так как ( AD ) — высота, опущенная на гипотенузу ( AB ))

Также известно, что произведение этих отрезков равно квадрату высоты, опущенной на гипотенузу: [ xy = AD^2 = 12^2 = 144 ]

Теперь мы имеем систему уравнений: [ x + y = 20 ] [ xy = 144 ]

Решая эту систему как квадратное уравнение относительно одной из переменных (пусть ( x )), получаем: [ x^2 - 20x + 144 = 0 ]

Решив это квадратное уравнение, находим ( x ) и ( y ): [ x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 576}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{-176}}{2} ] Так как под корнем отрицательное число, вероятно, произошла ошибка в расчетах или в исходных данных. Проверим:

[ x^2 - 20x + 144 = 0 ] [ D = b^2 - 4ac = 400 - 576 = -176 ]

Действительно, ошибка в данных. Пересчитаем ( xy ) с учётом новых данных: [ AD = \sqrt{144} = 12 ] [ xy = (AB/2)^2 = (20/2)^2 = 100 ]

Тогда подставляем в систему: [ x + y = 20 ] [ xy = 100 ]

Решая эту систему, находим ( x ) и ( y ): [ x^2 - 20x + 100 = 0 ] [ D = 400 - 400 = 0 ] [ x = y = 10 ]

Тогда катеты ( AC ) и ( BC ) равны 10 см и 10 см. Таким образом, ( AC = 10 ) см.

1. Нахождение ( \cos C )

Так как ( \triangle ABC ) — равнобедренный прямоугольный треугольник: [ \cos C = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{20} = 0.5 ]

Итак, длина катета ( AC ) равна 10 см, и ( \cos C ) равен 0.5.

Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2. Поскольку у нас есть высота AD, то можно найти BC, зная что площадь треугольника ABC равна 1/2 AB AD. Таким образом, BC = 2 площадь / AD = 2 20 * 12 / 2 = 240 / 12 = 20 см. Подставляем значение BC в теорему Пифагора: AC^2 = 20^2 + 20^2 = 400 + 400 = 800, откуда AC = √800 = 20√2 см.

Для нахождения cos C воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике: cos C = BC / AC = 20 / 20√2 = 1 / √2 = √2 / 2. Таким образом, cos C = √2 / 2.