В треугольнике ABC AB=3 BC=4 угол B=90градусов. На сторонах AB и AC соответственно взяты точки M и N,...

Для решения задачи найдем сначала координаты точек треугольника и точки пересечения высоты с гипотенузой, а затем вычислим площадь четырёхугольника BMNC.

1. Координаты точек треугольника: Поскольку угол B равен 90 градусам, треугольник ABC является прямоугольным. Пусть точка B находится в начале координат, т.е., ( B(0, 0) ). Так как AB = 3 и BC = 4, то можно принять:

   • ( A(3, 0) )
   • ( C(0, 4) )

2. Координаты точек M и N:

   • Точка M лежит на отрезке AB, где AM = 1. Распределим отрезок пропорционально: ( M(1, 0) ).
   • Точка N лежит на отрезке AC, где CN = 1. Так как C имеет координаты (0, 4), а A — (3, 0), уравнение прямой AC можно записать как ( y = -\frac{4}{3}x + 4 ). Найдем координаты точки N. Она находится на линии AC и на расстоянии 1 от точки C: [ \text{Направляющий вектор } \overrightarrow{CA} = (3 - 0, 0 - 4) = (3, -4). ] Нормированный вектор: [ \left( \frac{3}{5}, -\frac{4}{5} \right). ] Отложим от точки C вектор длиной 1: [ N = \left( 0 + \frac{3}{5}, 4 - \frac{4}{5} \right) = \left( \frac{3}{5}, \frac{16}{5} \right). ]

3. Площадь четырёхугольника BMNC: Площадь произвольного четырёхугольника, заданного вершинами ((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)), можно найти по формуле:

   [ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| ]

   Подставим координаты точек ( B(0, 0) ), ( M(1, 0) ), ( N\left(\frac{3}{5}, \frac{16}{5}\right) ), ( C(0, 4) ):

   [ S = \frac{1}{2} \left| 0\cdot0 + 1\cdot\frac{16}{5} + \frac{3}{5}\cdot4 + 0\cdot0 - (0\cdot1 + 0\cdot\frac{3}{5} + \frac{16}{5}\cdot0 + 4\cdot0) \right| ]

   [ S = \frac{1}{2} \left| 0 + \frac{16}{5} + \frac{12}{5} + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{28}{5} \right| = \frac{28}{10} = \frac{14}{5} = 2.8 ]

Таким образом, площадь четырёхугольника BMNC равна 2.8 квадратных единиц.

Для начала найдем площадь треугольника ABC. Так как угол B = 90 градусов, то площадь треугольника ABC равна (1/2)ABBC = (1/2)34 = 6.

Теперь посмотрим на четырехугольник BMNC. Он состоит из двух треугольников: треугольника ABM и треугольника ACN. Площадь четырехугольника BMNC равна сумме площадей этих двух треугольников.

Площадь треугольника ABM равна (1/2)AMBM = (1/2)13 = 1.5 Площадь треугольника ACN равна (1/2)CNAN = (1/2)14 = 2

Итак, площадь четырехугольника BMNC равна 1.5 + 2 = 3.5.

Площадь четырехугольника BMNC равна 2.