В треугольнике ABC BC= корень из 7, AC = 3 корня из 7, внешний угол при вершине C равен 120 градусов....

Для решения данной задачи можно воспользоваться третьей теоремой косинусов.

Пусть AB = x. Тогда по третьей теореме косинусов:

(x^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle C))

Подставляем известные значения:

(x^2 = (\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} \cdot \cos(120^\circ))

(x^2 = 7 + 63 - 6 \cdot 7 \cdot (-\frac{1}{2}))

(x^2 = 7 + 63 + 21)

(x^2 = 91)

(x = \sqrt{91})

Таким образом, длина стороны AB равна (\sqrt{91}).

Для решения этой задачи начнем с основных теорем и свойств треугольников.

1. Использование теоремы косинусов: Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника со сторонами (a), (b), и (c) и противолежащими им углами (A), (B), и (C) соответственно, верно следующее: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]

2. Применение теоремы к данной задаче: В нашем случае, (c = AB) (сторона, которую мы хотим найти), (a = BC = \sqrt{7}), (b = AC = 3\sqrt{7}).

   Важно отметить, что внешний угол при вершине C равен 120 градусов, следовательно, внутренний угол (C) равен (180^\circ - 120^\circ = 60^\circ).

3. Подставляем данные в теорему косинусов: [ AB^2 = (\sqrt{7})^2 + (3\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3\sqrt{7} \cdot \cos(60^\circ) ] [ AB^2 = 7 + 63 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} ] [ AB^2 = 7 + 63 - 21 = 49 ] [ AB = \sqrt{49} = 7 ]

Таким образом, длина стороны (AB) в треугольнике (ABC) равна 7.