В треугольнике ABC угол C равен 90 , sin A=0,1, AC=6 корень 11. Найдите AB.

Давайте решим задачу по порядку шаг за шагом.

Дано:

• ( \triangle ABC ) – прямоугольный треугольник, угол ( C = 90^\circ ).
• ( \sin A = 0.1 ).
• ( AC = 6\sqrt{11} ) (катет).

Нужно найти длину гипотенузы ( AB ).

Шаг 1. Вспомним определение синуса:

Для угла ( A ) в прямоугольном треугольнике: [ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] Противолежащий катет для угла ( A ) – это ( BC ), а гипотенуза – это ( AB ). Подставим в формулу: [ \sin A = \frac{BC}{AB}. ] По условию ( \sin A = 0.1 ), следовательно: [ 0.1 = \frac{BC}{AB}. ] Или, умножив обе части на ( AB ): [ BC = 0.1 \cdot AB. ]

Шаг 2. Используем теорему Пифагора:

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Подставляем известное значение для ( AC ): [ AB^2 = (6\sqrt{11})^2 + BC^2. ] Вычислим ( (6\sqrt{11})^2 ): [ (6\sqrt{11})^2 = 36 \cdot 11 = 396. ] Следовательно: [ AB^2 = 396 + BC^2. ]

Шаг 3. Подставим ( BC = 0.1 \cdot AB ):

Из первого шага мы знаем, что ( BC = 0.1 \cdot AB ). Подставим это в уравнение Пифагора: [ AB^2 = 396 + (0.1 \cdot AB)^2. ] Возведем ( 0.1 \cdot AB ) в квадрат: [ (0.1 \cdot AB)^2 = 0.01 \cdot AB^2. ] Таким образом, уравнение становится: [ AB^2 = 396 + 0.01 \cdot AB^2. ]

Шаг 4. Решим уравнение:

Перенесем ( 0.01 \cdot AB^2 ) в левую часть: [ AB^2 - 0.01 \cdot AB^2 = 396. ] Вынесем ( AB^2 ) за скобки: [ AB^2 (1 - 0.01) = 396. ] Упростим ( 1 - 0.01 ): [ AB^2 \cdot 0.99 = 396. ] Разделим обе стороны на ( 0.99 ): [ AB^2 = \frac{396}{0.99}. ] Выполним деление: [ AB^2 = 400. ]

Шаг 5. Найдем ( AB ):

Теперь извлечем квадратный корень из ( AB^2 ): [ AB = \sqrt{400}. ] [ AB = 20. ]

Ответ:

Длина гипотенузы ( AB = 20 ).

В треугольнике ABC с углом C, равным 90 градусов, можно использовать основные тригонометрические соотношения для поиска стороны AB. Из условия известно, что ( \sin A = 0.1 ) и ( AC = 6\sqrt{11} ).

1. Найдем сторону BC: Поскольку ( \sin A = \frac{BC}{AB} ), можно выразить сторону BC через AB: [ BC = AB \cdot \sin A. ] Подставим ( \sin A = 0.1 ): [ BC = 0.1 \cdot AB. ]

2. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора имеем: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Подставим известные значения: [ AC = 6\sqrt{11} \quad \Rightarrow \quad AC^2 = (6\sqrt{11})^2 = 36 \cdot 11 = 396. ] Теперь подставим выражение для BC: [ BC = 0.1 \cdot AB \quad \Rightarrow \quad BC^2 = (0.1 \cdot AB)^2 = 0.01 \cdot AB^2. ] Таким образом, у нас получается: [ AB^2 = 396 + 0.01 \cdot AB^2. ]

3. Решим уравнение: Переносим все члены в одну сторону: [ AB^2 - 0.01 \cdot AB^2 = 396, ] [ (1 - 0.01) \cdot AB^2 = 396, ] [ 0.99 \cdot AB^2 = 396. ] Теперь делим обе стороны на 0.99: [ AB^2 = \frac{396}{0.99} = 400. ] Извлекаем квадратный корень: [ AB = \sqrt{400} = 20. ]

Таким образом, длина стороны AB в треугольнике ABC равна 20.