В уравнении x^2+px-18=0 один из его корней равен -9 . Найдите другой корень и коэффициент p.

Рассмотрим квадратное уравнение вида ( x^2 + px - 18 = 0 ), где один из корней равен (-9). Нам нужно найти другой корень и коэффициент ( p ).

Квадратное уравнение общего вида ( ax^2 + bx + c = 0 ) имеет корни, которые можно найти по формуле Виета. Согласно этой формуле, сумма корней квадратного уравнения равна (-\frac{b}{a}), а произведение корней равно (\frac{c}{a}). В нашем случае ( a = 1 ), ( b = p ) и ( c = -18 ).

Пусть ( x_1 = -9 ) — это один из корней уравнения. Обозначим второй корень через ( x_2 ). По формуле Виета:

1. Сумма корней: [ x_1 + x_2 = -p ]

2. Произведение корней: [ x_1 \cdot x_2 = -18 ]

Подставим известное значение ( x_1 ) в эти уравнения:

1. Сумма корней: [ -9 + x_2 = -p \quad \Rightarrow \quad x_2 = -p + 9 ]

2. Произведение корней: [ -9 \cdot x_2 = -18 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{-18}{-9} = 2 ]

Теперь у нас есть значение второго корня ( x_2 = 2 ). Подставим это значение в уравнение для суммы корней, чтобы найти ( p ):

[ -9 + 2 = -p \quad \Rightarrow \quad -7 = -p \quad \Rightarrow \quad p = 7 ]

Итак, второй корень уравнения ( x_2 = 2 ), а коэффициент ( p = 7 ).

Ответ:

• Другой корень: ( x_2 = 2 )
• Коэффициент ( p = 7 )

Данное уравнение можно представить в виде (x + 9)(x - a) = 0, где -9 это один из корней, а "a" - другой корень. Раскрыв скобки, получим x^2 - ax + 9x - 9a = x^2 + (9 - a)x - 9a = x^2 + px - 18. Сравнивая коэффициенты при x, мы получаем, что 9 - a = p и -9a = -18. Решая систему уравнений, найдем значение "a" и "p". Из второго уравнения получаем, что a = 2. Подставляя это значение в первое уравнение, получаем p = 9 - a = 9 - 2 = 7. Таким образом, другой корень равен 2, а коэффициент p равен 7.