Возрастает или убывает функция
а) [y=log _{5} x]
б) [y=log _{0,7} x]
в) [y=log _{ \sqrt{3} } x]
Возрастает или убывает функция
а) [y=log _{5} x]
б) [y=log _{0,7} x]
в) [y=log _{ \sqrt{3} } x]
а) Функция (y=log _{5} x) возрастает при (x>1).
б) Функция (y=log _{0,7} x) убывает при (0
Чтобы определить, возрастает или убывает функция, нужно рассмотреть поведение логарифмической функции в зависимости от её основания.
а) ( y = \log_{5} x )
Функция ( y = \log{5} x ) является логарифмической функцией с основанием больше 1. В общем случае, если основание логарифма ( a > 1 ), то функция ( y = \log{a} x ) возрастает на всём множестве допустимых значений, то есть на интервале ( x > 0 ). Это значит, что с увеличением ( x ) значение ( y ) также увеличивается.
б) ( y = \log_{0.7} x )
Здесь основание логарифма ( a = 0.7 ), что меньше 1, но больше 0. Для логарифмических функций с основанием ( 0 < a < 1 ), функция убывает на всём множестве допустимых значений ( x > 0 ). Это означает, что с увеличением ( x ) значение ( y ) уменьшается.
в) ( y = \log_{\sqrt{3}} x )
Основание логарифма здесь равно ( \sqrt{3} ), что примерно равно 1.732 и больше 1. Как и в случае с первым примером, когда основание больше 1, функция ( y = \log_{a} x ) возрастает на интервале ( x > 0 ). Таким образом, функция возрастает с увеличением ( x ).
Подводя итог:
а) Функция ( y = \log_{5} x ) возрастает.
б) Функция ( y = \log_{0.7} x ) убывает.
в) Функция ( y = \log_{\sqrt{3}} x ) возрастает.
Для определения возрастания или убывания функции (y = \log_a x) необходимо анализировать производную этой функции.
а) Для функции (y = \log_5 x) производная будет равна (\frac{1}{x \ln 5}). Поскольку производная положительна для всех положительных значений x, то функция возрастает.
б) Для функции (y = \log_{0.7} x) производная будет равна (\frac{1}{x \ln 0.7}). Поскольку производная отрицательна для всех положительных значений x, то функция убывает.
в) Для функции (y = \log_{\sqrt{3}} x) производная будет равна (\frac{1}{x \ln \sqrt{3}}). Поскольку производная положительна для всех положительных значений x, то функция возрастает.
