Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cos x, y=0, x=0, x=\[ \pi /6\]

Площадь фигуры равна 1/2.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (y = \cos x), (y = 0), (x = 0), и (x = \frac{\pi}{6}), необходимо найти площадь под кривой (\cos x) на отрезке от 0 до (\frac{\pi}{6}) и вычесть из нее площадь треугольника, образованного осями координат и линиями (y = 0) и (x = \frac{\pi}{6}).

Итак, площадь под кривой (\cos x) на интервале от 0 до (\frac{\pi}{6}) можно найти, вычислив определенный интеграл данной функции на этом интервале:

[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \, dx ]

Интегрируя функцию (\cos x), получаем:

[ \sin x \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} ]

Теперь найдем площадь треугольника, образованного осями координат и линиями (y = 0) и (x = \frac{\pi}{6}). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} \cdot 1 = \frac{\pi}{12} ]

Итак, общая площадь фигуры будет равна разности площади под кривой и площади треугольника:

[ \frac{1}{2} - \frac{\pi}{12} = \frac{6 - \pi}{12} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями (y = \cos x), (y = 0), (x = 0), и (x = \frac{\pi}{6}) равна (\frac{6 - \pi}{12}).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо вычислить определённый интеграл функции, которая описывает верхнюю границу этой фигуры, в данном случае ( y = \cos x ), от ( x = 0 ) до ( x = \pi/6 ).

Шаги для нахождения площади:

1. Определение функции, ограничивающей фигуру сверху: Верхняя граница задаётся функцией ( y = \cos x ).

2. Определение границ интегрирования: Нижняя граница интегрирования — это ( x = 0 ), а верхняя — ( x = \pi/6 ).

3. Запись интеграла для площади: Площадь ( A ) можно выразить как определённый интеграл: [ A = \int_{0}^{\pi/6} \cos x \, dx ]

4. Вычисление интеграла: Необходимо найти первообразную функции ( \cos x ). Известно, что первообразная для ( \cos x ) — это ( \sin x ). Поэтому: [ \int \cos x \, dx = \sin x + C ] где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования. Но так как мы ищем определённый интеграл, постоянная нам не нужна.

5. Подстановка пределов интегрирования: Подставляем пределы интегрирования в первообразную: [ A = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi/6} = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) - \sin(0) ] Значения синуса при этих углах: [ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}, \quad \sin(0) = 0 ]

6. Вычисление конечного значения: [ A = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \cos x ), ( y = 0 ), ( x = 0 ) и ( x = \pi/6 ), равна ( \frac{1}{2} ).