Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cos x, y=0, x=0, x=$$\pi /6$$

Площадь фигуры равна 1/2.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\cos x$, $y=0$, $x=0$, и $x=\frac{\pi }{6}$, необходимо найти площадь под кривой $\cos x$ на отрезке от 0 до $\frac{\pi }{6}$ и вычесть из нее площадь треугольника, образованного осями координат и линиями $y=0$ и $x=\frac{\pi }{6}$.

Итак, площадь под кривой $\cos x$ на интервале от 0 до $\frac{\pi }{6}$ можно найти, вычислив определенный интеграл данной функции на этом интервале:

${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\cos xdx$

Интегрируя функцию $\cos x$, получаем:

$\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{6}}=\sin \frac{\pi }{6}-\sin 0=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

Теперь найдем площадь треугольника, образованного осями координат и линиями $y=0$ и $x=\frac{\pi }{6}$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{6}\cdot 1=\frac{\pi }{12}$

Итак, общая площадь фигуры будет равна разности площади под кривой и площади треугольника:

$\frac{1}{2}-\frac{\pi }{12}=\frac{6-\pi }{12}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\cos x$, $y=0$, $x=0$, и $x=\frac{\pi }{6}$ равна $\frac{6-\pi }{12}$.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо вычислить определённый интеграл функции, которая описывает верхнюю границу этой фигуры, в данном случае $y=\cos x$, от $x=0$ до $x=\pi /6$.

Шаги для нахождения площади:

1. Определение функции, ограничивающей фигуру сверху: Верхняя граница задаётся функцией $y=\cos x$.

2. Определение границ интегрирования: Нижняя граница интегрирования — это $x=0$, а верхняя — $x=\pi /6$.

3. Запись интеграла для площади: Площадь $A$ можно выразить как определённый интеграл: $A={\int }_0^{\pi /6}\cos xdx$

4. Вычисление интеграла: Необходимо найти первообразную функции $\cos x$. Известно, что первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$. Поэтому: $\int \cos xdx=\sin x+C$ где $C$ — произвольная постоянная интегрирования. Но так как мы ищем определённый интеграл, постоянная нам не нужна.

5. Подстановка пределов интегрирования: Подставляем пределы интегрирования в первообразную: $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$_{0}^{\pi/6} = \sin \left$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ - \sin$0$ ] Значения синуса при этих углах: $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2},\sin (0)=0$

6. Вычисление конечного значения: $A=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\cos x$, $y=0$, $x=0$ и $x=\pi /6$, равна $\frac{1}{2}$.