Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=cos x, y=0, x=0, x=π/6

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
площадь фигуры интегралы тригонометрические функции косинус границы интегрирования математический анализ
0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=cos x, y=0, x=0, x=π/6

avatar
задан 5 месяцев назад

3 Ответа

0

Площадь фигуры равна 1/2.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=cosx, y=0, x=0, и x=π6, необходимо найти площадь под кривой cosx на отрезке от 0 до π6 и вычесть из нее площадь треугольника, образованного осями координат и линиями y=0 и x=π6.

Итак, площадь под кривой cosx на интервале от 0 до π6 можно найти, вычислив определенный интеграл данной функции на этом интервале:

0π6cosxdx

Интегрируя функцию cosx, получаем:

sinx|0π6=sinπ6sin0=120=12

Теперь найдем площадь треугольника, образованного осями координат и линиями y=0 и x=π6. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

12π61=π12

Итак, общая площадь фигуры будет равна разности площади под кривой и площади треугольника:

12π12=6π12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=cosx, y=0, x=0, и x=π6 равна 6π12.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо вычислить определённый интеграл функции, которая описывает верхнюю границу этой фигуры, в данном случае y=cosx, от x=0 до x=π/6.

Шаги для нахождения площади:

  1. Определение функции, ограничивающей фигуру сверху: Верхняя граница задаётся функцией y=cosx.

  2. Определение границ интегрирования: Нижняя граница интегрирования — это x=0, а верхняя — x=π/6.

  3. Запись интеграла для площади: Площадь A можно выразить как определённый интеграл: A=0π/6cosxdx

  4. Вычисление интеграла: Необходимо найти первообразную функции cosx. Известно, что первообразная для cosx — это sinx. Поэтому: cosxdx=sinx+C где C — произвольная постоянная интегрирования. Но так как мы ищем определённый интеграл, постоянная нам не нужна.

  5. Подстановка пределов интегрирования: Подставляем пределы интегрирования в первообразную: Missing or unrecognized delimiter for \right_{0}^{\pi/6} = \sin \leftMissing or unrecognized delimiter for \right - \sin0 ] Значения синуса при этих углах: sin(π6)=12,sin(0)=0

  6. Вычисление конечного значения: A=120=12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=cosx, y=0, x=0 и x=π/6, равна 12.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме