Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2+x, y=0

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнение параболы y=-x^2+x и оси x (y=0):

0 = -x^2 + x

Решив это уравнение, получим две точки пересечения: x=0 и x=1. Теперь найдем соответствующие значения y для этих точек:

y(0) = -0^2 + 0 = 0

y(1) = -1^2 + 1 = 0

Таким образом, фигура, ограниченная указанными линиями, представляет собой сегмент параболы между точками (0,0) и (1,0) на оси x. Площадь этой фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл от уравнения параболы на отрезке [0,1]:

S = ∫[0,1] (-x^2 + x) dx

S = [-x^3/3 + x^2/2] [0,1]

S = -(1/3) + 1/2 = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+x и y=0, равна 1/6.

Площадь фигуры равна 1/6.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, сначала определим точки пересечения данных функций. Разберемся вначале с уравнением:

[ y = -x^2 + x ] [ y = 0 ]

Подставим ( y = 0 ) в уравнение параболы:

[ 0 = -x^2 + x ] [ 0 = x(-x + 1) ]

Отсюда получаем два корня: ( x = 0 ) и ( x = 1 ). Это означает, что парабола пересекает ось абсцисс в точках ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

Теперь вычислим площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = -x^2 + x ) и осью ( x ) от ( x = 0 ) до ( x = 1 ). Для этого найдем интеграл от функции ( y = -x^2 + x ) на данном интервале:

[ S = \int_{0}^{1} (-x^2 + x) \, dx ]

Вычислим интеграл:

[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} ] [ S = \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} \right) ] [ S = \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) - (0) ] [ S = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} ] [ S = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} ] [ S = \frac{1}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + x ) и ( y = 0 ) на интервале от ( x = 0 ) до ( x = 1 ), составляет ( \frac{1}{6} ) квадратных единиц.