Вычислить S фигуры ограниченной линии у=4+х^2, у=2-х, х=-1, х=1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и провести соответствующие графики.

1. Найдем точки пересечения линий у=4+х^2 и у=2-х: 4+х^2 = 2-х х^2 + х - 2 = 0 (х+2)(х-1) = 0 Отсюда получаем две точки пересечения: х=-2 и х=1.

2. Теперь найдем точки пересечения линий х=-1 и х=1. Они находятся в точках (-1, y) и (1, y) соответственно.

3. Построим графики данных линий и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. После этого можно вычислить площадь, используя интеграл или геометрические методы.

Таким образом, после нахождения точек пересечения линий и построения графика можно вычислить площадь фигуры ограниченной этими линиями.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями и прямыми ( x = -1 ) и ( x = 1 ), необходимо рассмотреть две функции и точки их пересечения, а также разделить область на удобные сегменты для интегрирования.

1. Определение точек пересечения кривых:

   • ( y = 4 + x^2 )
   • ( y = 2 - x )

   Приравняем их для нахождения точек пересечения: [ 4 + x^2 = 2 - x ] [ x^2 + x + 2 = 0 ] Решим квадратное уравнение: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 ] Так как дискриминант отрицательный, реальных корней нет. Это означает, что кривые не пересекаются. Поскольку мы рассматриваем интервал от ( x = -1 ) до ( x = 1 ), на этом интервале кривые не пересекаются.

2. Определение верхней и нижней границ: Теперь посмотрим, какая из функций на промежутке от ( x = -1 ) до ( x = 1 ) является верхней, а какая — нижней. Подставим ( x = 0 ) в обе функции:

   • ( y = 4 + 0^2 = 4 )
   • ( y = 2 - 0 = 2 ) Из этого следует, что ( y = 4 + x^2 ) выше ( y = 2 - x ) на всем рассматриваемом интервале.

3. Вычисление площади: Площадь между двумя кривыми на заданном интервале вычисляется по формуле: [ S = \int{a}^{b} (y{верх} - y{ниж}) \, dx ] Подставляя наши функции и пределы интегрирования: [ S = \int{-1}^{1} (4 + x^2 - (2 - x)) \, dx = \int_{-1}^{1} (x^2 + x + 2) \, dx ]

   Вычислим интеграл: [ \int (x^2 + x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x ] Подставим пределы от -1 до 1: [ \left(\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right) ] [ \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) ] [ \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) ] [ \frac{2}{3} + \frac{4}{2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3} ]

Итак, площадь заданной фигуры составляет ( \frac{8}{3} ) квадратных единиц.