Вычислить S фигуры ограниченной линии у=4+х^2, у=2-х, х=-1, х=1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и провести соответствующие графики.

1. Найдем точки пересечения линий у=4+х^2 и у=2-х: 4+х^2 = 2-х х^2 + х - 2 = 0 $х+2$$х-1$ = 0 Отсюда получаем две точки пересечения: х=-2 и х=1.

2. Теперь найдем точки пересечения линий х=-1 и х=1. Они находятся в точках $-1,y$ и $1,y$ соответственно.

3. Построим графики данных линий и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. После этого можно вычислить площадь, используя интеграл или геометрические методы.

Таким образом, после нахождения точек пересечения линий и построения графика можно вычислить площадь фигуры ограниченной этими линиями.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями и прямыми $x=-1$ и $x=1$, необходимо рассмотреть две функции и точки их пересечения, а также разделить область на удобные сегменты для интегрирования.

1. Определение точек пересечения кривых:

   • $y=4+x^2$
   • $y=2-x$

   Приравняем их для нахождения точек пересечения: $4+x^2=2-x$ $x^2+x+2=0$ Решим квадратное уравнение: $D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7$ Так как дискриминант отрицательный, реальных корней нет. Это означает, что кривые не пересекаются. Поскольку мы рассматриваем интервал от $x=-1$ до $x=1$, на этом интервале кривые не пересекаются.

2. Определение верхней и нижней границ: Теперь посмотрим, какая из функций на промежутке от $x=-1$ до $x=1$ является верхней, а какая — нижней. Подставим $x=0$ в обе функции:

   • $y=4+0^2=4$
   • $y=2-0=2$ Из этого следует, что $y=4+x^2$ выше $y=2-x$ на всем рассматриваемом интервале.

3. Вычисление площади: Площадь между двумя кривыми на заданном интервале вычисляется по формуле: [ S = \int{a}^{b} (y{верх} - y{ниж}) \, dx ] Подставляя наши функции и пределы интегрирования: [ S = \int{-1}^{1} $4+x^2-(2-x$) \, dx = \int_{-1}^{1} $x^2+x+2$ \, dx ]

   Вычислим интеграл: $\int (x^2+x+2)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x$ Подставим пределы от -1 до 1: $(\frac{1^3}{3}+\frac{1^2}{2}+2\cdot 1)-(\frac{(-1{)}^3}{3}+\frac{(-1{)}^2}{2}+2\cdot (-1))$ $(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2)-(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2)$ $(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2)+(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)$ $\frac{2}{3}+\frac{4}{2}=\frac{2}{3}+2=\frac{2}{3}+\frac{6}{3}=\frac{8}{3}$

Итак, площадь заданной фигуры составляет $\frac{8}{3}$ квадратных единиц.