Вычислить tg^3 a + ctg^3 a,если tg a+ctg a=2

Чтобы решить задачу, нужно выразить ${\tan }^{3}a+{\cot }^{3}a$ через $\tan a+\cot a$. Дано, что $\tan a+\cot a=2$.

Обозначим: $x=\tan a,y=\cot a$ Тогда у нас есть: $x+y=2$ и также известно, что: $y=\frac{1}{x}$

Теперь подставим $y=\frac{1}{x}$ в уравнение: $x+\frac{1}{x}=2$

Умножим всё уравнение на $x$ для упрощения: $x^2+1=2x$

Перепишем это уравнение как квадратное: $x^2-2x+1=0$

Заметим, что это уравнение можно представить как: $(x-1{)}^2=0$

Таким образом, $x=1$. Следовательно, $y=\frac{1}{x}=1$.

Теперь найдем ${\tan }^{3}a+{\cot }^{3}a$: ${\tan }^{3}a+{\cot }^{3}a=x^3+y^3$

Для $x=1$ и $y=1$ имеем: $x^3+y^3=1^3+1^3=1+1=2$

Следовательно, ${\tan }^{3}a+{\cot }^{3}a=2$.

Итак, ответ: ${\tan }^{3}a+{\cot }^{3}a=2$.

Обозначим tg a = x. Тогда ctg a = 1/x. Имеем уравнение x + 1/x = 2. Умножим обе части на x: x^2 + 1 = 2x. Переносим все в одну сторону: x^2 - 2x + 1 = 0. Таким образом, уравнение имеет вид $x-1$^2 = 0. Отсюда x = 1. Тогда tg a = 1, ctg a = 1. Подставляем в исходное выражение: tg^3 a + ctg^3 a = 1 + 1 = 2.

Для решения данной задачи воспользуемся следующими формулами:

tg$a$ + ctg$a$ = 2 tg$a$ * ctg$a$ = 1

Подставим значение tg$a$ + ctg$a$ = 2 в уравнение tg$a$ * ctg$a$ = 1:

tg$a$ ctg$a$ = 1 tg$a$ $2-tg(a$) = 1 2tg$a$ - $tg(a$)^2 = 1 $tg(a$)^2 - 2tg$a$ + 1 = 0 $tg(a$ - 1)^2 = 0

Отсюда получаем, что tg$a$ = 1.

Теперь можем вычислить tg^3$a$ + ctg^3$a$:

tg^3$a$ + ctg^3$a$ = 1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2

Таким образом, tg^3$a$ + ctg^3$a$ = 2.