Вычислить tg^3 a + ctg^3 a,если tg a+ctg a=2

Чтобы решить задачу, нужно выразить ( \tan^3 a + \cot^3 a ) через ( \tan a + \cot a ). Дано, что ( \tan a + \cot a = 2 ).

Обозначим: [ x = \tan a, \quad y = \cot a ] Тогда у нас есть: [ x + y = 2 ] и также известно, что: [ y = \frac{1}{x} ]

Теперь подставим ( y = \frac{1}{x} ) в уравнение: [ x + \frac{1}{x} = 2 ]

Умножим всё уравнение на ( x ) для упрощения: [ x^2 + 1 = 2x ]

Перепишем это уравнение как квадратное: [ x^2 - 2x + 1 = 0 ]

Заметим, что это уравнение можно представить как: [ (x - 1)^2 = 0 ]

Таким образом, ( x = 1 ). Следовательно, ( y = \frac{1}{x} = 1 ).

Теперь найдем ( \tan^3 a + \cot^3 a ): [ \tan^3 a + \cot^3 a = x^3 + y^3 ]

Для ( x = 1 ) и ( y = 1 ) имеем: [ x^3 + y^3 = 1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2 ]

Следовательно, ( \tan^3 a + \cot^3 a = 2 ).

Итак, ответ: ( \tan^3 a + \cot^3 a = 2 ).

Обозначим tg a = x. Тогда ctg a = 1/x. Имеем уравнение x + 1/x = 2. Умножим обе части на x: x^2 + 1 = 2x. Переносим все в одну сторону: x^2 - 2x + 1 = 0. Таким образом, уравнение имеет вид (x - 1)^2 = 0. Отсюда x = 1. Тогда tg a = 1, ctg a = 1. Подставляем в исходное выражение: tg^3 a + ctg^3 a = 1 + 1 = 2.

Для решения данной задачи воспользуемся следующими формулами:

tg(a) + ctg(a) = 2 tg(a) * ctg(a) = 1

Подставим значение tg(a) + ctg(a) = 2 в уравнение tg(a) * ctg(a) = 1:

tg(a) ctg(a) = 1 tg(a) (2 - tg(a)) = 1 2tg(a) - (tg(a))^2 = 1 (tg(a))^2 - 2tg(a) + 1 = 0 (tg(a) - 1)^2 = 0

Отсюда получаем, что tg(a) = 1.

Теперь можем вычислить tg^3(a) + ctg^3(a):

tg^3(a) + ctg^3(a) = 1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2

Таким образом, tg^3(a) + ctg^3(a) = 2.