Вычислите (1+i)(1-i)

Давайте внимательно разберем вычисление выражения ((1 + i)(1 - i)), где (i) обозначает мнимую единицу, такую что (i^2 = -1).

1. Применяем распределительный закон умножения: Выражение ((1 + i)(1 - i)) можно раскрыть как произведение двух скобок: [ (1 + i)(1 - i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-i) + i \cdot 1 + i \cdot (-i). ]

2. Выполняем умножение каждого члена: [ 1 \cdot 1 = 1, \quad 1 \cdot (-i) = -i, \quad i \cdot 1 = i, \quad i \cdot (-i) = -i^2. ]

3. Подставляем (i^2 = -1): Заметим, что (i^2 = -1), поэтому ( -i^2 = -(-1) = 1).

   Подставим это в выражение: [ (1 + i)(1 - i) = 1 - i + i + 1. ]

4. Упрощаем выражение: Сложим подобные члены: (-i + i = 0), поэтому остается: [ (1 + i)(1 - i) = 1 + 1 = 2. ]

5. Вывод: Произведение ((1 + i)(1 - i)) равно (2).

Дополнительное объяснение:

Выражение ((1 + i)(1 - i)) является примером разности квадратов: [ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2. ] Здесь (a = 1), (b = i). Тогда: [ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2. ] Поскольку (1^2 = 1) и (i^2 = -1), то: [ 1 - (-1) = 1 + 1 = 2. ]

Итак, окончательный ответ:
[ (1 + i)(1 - i) = 2. ]

(1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

Для вычисления выражения ((1+i)(1-i)) воспользуемся свойством произведения комплексных чисел. В данном случае мы имеем два числа: (1+i) и (1-i).

Сначала применим формулу разности квадратов:

[ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ]

где (a = 1) и (b = i). Таким образом, мы можем записать:

[ (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 ]

Теперь вычислим каждую часть:

1. (1^2 = 1)
2. (i^2 = -1) (по определению мнимой единицы (i), которая равна (\sqrt{-1}))

Теперь подставим эти значения в нашу формулу:

[ (1+i)(1-i) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 ]

Таким образом, результат вычисления ((1+i)(1-i)) равен (2).

Для проверки, давайте перемножим (1+i) и (1-i) напрямую:

[ (1+i)(1-i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-i) + i \cdot 1 + i \cdot (-i) ] [ = 1 - i + i - i^2 ]

Здесь (-i) и (i) взаимно уничтожаются, и остается:

[ = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 ]

Таким образом, мы ещё раз подтверждаем, что ((1+i)(1-i) = 2).

Ответ: (2).