Вычислите 3sin альфа - 4 cos альфа деленный на 5 sin альфа + 6 cos альфа; если tg альфа=-3

Дано: tg(α) = -3

Мы можем использовать тригонометрическую тождественность tg(α) = sin(α) / cos(α) для нахождения sin(α) и cos(α).

tg(α) = sin(α) / cos(α) -3 = sin(α) / cos(α)

Так как sin^2(α) + cos^2(α) = 1, то sin^2(α) = 1 - cos^2(α).

Подставим sin(α) = -3cos(α) в sin^2(α) = 1 - cos^2(α):

(-3cos(α))^2 = 1 - cos^2(α) 9cos^2(α) = 1 - cos^2(α) 9cos^2(α) + cos^2(α) = 1 10cos^2(α) = 1 cos^2(α) = 1 / 10 cos(α) = ±√(1 / 10) = ±√10 / 10

Так как tg(α) = -3, α должен быть в третьем или четвертом квадранте, где cos(α) < 0.

Таким образом, cos(α) = -√10 / 10.

Теперь найдем sin(α):

sin(α) = -3cos(α) sin(α) = -3 * (-√10 / 10) sin(α) = 3√10 / 10

Теперь мы можем выразить 3sin(α) - 4cos(α) и 5sin(α) + 6cos(α) в терминах sin(α) и cos(α) и разделить их:

3sin(α) - 4cos(α) = 3(3√10 / 10) - 4(-√10 / 10) = 9√10 / 10 + 4√10 / 10 = 13√10 / 10 5sin(α) + 6cos(α) = 5(3√10 / 10) + 6(-√10 / 10) = 15√10 / 10 - 6√10 / 10 = 9√10 / 10

Таким образом, искомое выражение равно (13√10 / 10) / (9√10 / 10) = 13 / 9.

Для решения данного выражения используем формулу тангенса суммы, заменяя tg альфа на -3. Получаем -3.

Чтобы решить задачу, сначала воспользуемся данным значением (\tan \alpha = -3). Зная тангенс, мы можем выразить синус и косинус через гипотенузу и катеты в прямоугольном треугольнике.

Пусть (\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -3). Это означает, что (\sin \alpha = -3\cos \alpha).

1. Нахождение синуса и косинуса:

   Для нахождения (\sin \alpha) и (\cos \alpha), используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

   Подставим (\sin \alpha = -3\cos \alpha) в уравнение: [ (-3\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ 9\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] [ 10\cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = \frac{1}{10} ] [ \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} ]

   Соответственно, (\sin \alpha = -3\cos \alpha = \mp \frac{3}{\sqrt{10}}).

   Поскольку (\tan \alpha) отрицателен, и оба синус и косинус не могут быть положительными одновременно, выбираем (\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}) и (\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}).

2. Вычисление выражения:

   Подставим найденные значения (\sin \alpha) и (\cos \alpha) в выражение:

   [ \frac{3\sin \alpha - 4\cos \alpha}{5\sin \alpha + 6\cos \alpha} ]

   [ = \frac{3\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) - 4\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{5\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + 6\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)} ]

   [ = \frac{-\frac{9}{\sqrt{10}} - \frac{4}{\sqrt{10}}}{-\frac{15}{\sqrt{10}} + \frac{6}{\sqrt{10}}} ]

   [ = \frac{-\frac{13}{\sqrt{10}}}{-\frac{9}{\sqrt{10}}} ]

   [ = \frac{13}{9} ]

Таким образом, значение выражения равно (\frac{13}{9}).