Вычислите f ' (П/3), если f(x)=2sinx+3x^2-2Пx+3

f ' (x) = 2cosx + 6x - 2П

f ' (П/3) = 2cos(П/3) + 6(П/3) - 2П f ' (П/3) = 2*(1/2) + 2П - 2П f ' (П/3) = 1 + 2П - 2П f ' (П/3) = 1

Для того чтобы найти производную функции f(x) по x, сначала найдем производные каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим результаты.

f(x) = 2sinx + 3x^2 - 2Пx + 3

f'(x) = d(2sinx)/dx + d(3x^2)/dx - d(2Пx)/dx + d(3)/dx

f'(x) = 2cosx + 6x - 2П

Теперь, чтобы найти f'(П/3), подставим x = П/3 в выражение для производной:

f'(П/3) = 2cos(П/3) + 6 * (П/3) - 2П

f'(П/3) = 2 * (1/2) + 2П - 2П

f'(П/3) = 1

Итак, значение производной функции f(x) в точке П/3 равно 1.

Чтобы вычислить значение производной функции ( f(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{3} ), сначала найдем общую формулу для производной функции ( f(x) ).

Дана функция: [ f(x) = 2\sin{x} + 3x^2 - 2\pi x + 3 ]

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Используем также стандартные производные для элементарных функций.

Производная функции ( 2\sin{x} ): [ \frac{d}{dx}(2\sin{x}) = 2\cos{x} ]

Производная функции ( 3x^2 ): [ \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x ]

Производная функции ( -2\pi x ): [ \frac{d}{dx}(-2\pi x) = -2\pi ]

Производная константы ( 3 ): [ \frac{d}{dx}(3) = 0 ]

Теперь суммируем найденные производные: [ f'(x) = 2\cos{x} + 6x - 2\pi ]

Нам нужно найти ( f' \left( \frac{\pi}{3} \right) ). Подставляем ( x = \frac{\pi}{3} ) в выражение для производной:

[ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + 6 \cdot \frac{\pi}{3} - 2\pi ]

Значение ( \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) ) равно ( \frac{1}{2} ): [ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\pi}{3} - 2\pi ] [ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = 1 + 2\pi - 2\pi ] [ f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = 1 ]

Итак, значение производной функции ( f(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{3} ) равно 1.