Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
1)y=2sinx, y=0, x=0, x=pi
2)y=3cosx, y=0, x=pi, x=2pi
Вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
1)y=2sinx, y=0, x=0, x=pi
2)y=3cosx, y=0, x=pi, x=2pi
1) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=2sinx, y=0, x=0, x=pi равна 2.
2) Площадь фигуры, ограниченной линиями y=3cosx, y=0, x=pi, x=2pi равна 3.
Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо вычислить интеграл от верхней функции до нижней по переменной x в заданных пределах.
1) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2sinx, осью x, прямыми x = 0 и x = π, будет равна интегралу от 0 до π от (2sinx - 0) dx = ∫(0 to π) 2sinx dx = -2cosx|₀^π = -2(cos(π) - cos(0)) = -2((-1) - 1) = -2(-2) = 4.
Итак, площадь фигуры, ограниченной функцией y = 2sinx, осью x, прямыми x = 0 и x = π, равна 4.
2) Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 3cosx, осью x, прямыми x = π и x = 2π, будет равна интегралу от π до 2π от (3cosx - 0) dx = ∫(π to 2π) 3cosx dx = 3sinx|π^2π = 3(sin(2π) - sin(π)) = 3(0 - 0) = 0.
Итак, площадь фигуры, ограниченной функцией y = 3cosx, осью x, прямыми x = π и x = 2π, равна 0.
Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо воспользоваться интегральным исчислением. Рассмотрим отдельно каждую из фигур и выполните соответствующие интегралы.
Границы: (y = 2\sin(x)), (y = 0), (x = 0), (x = \pi).
Площадь фигуры будет равна интегралу функции (2\sin(x)) от (x = 0) до (x = \pi):
[ \text{Площадь} = \int_{0}^{\pi} 2\sin(x) \, dx ]
Для нахождения этого интеграла, воспользуемся таблицей интегралов:
[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) ]
Следовательно,
[ \int 2\sin(x) \, dx = -2\cos(x) ]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[ \int{0}^{\pi} 2\sin(x) \, dx = \left[-2\cos(x)\right]{0}^{\pi} = -2\cos(\pi) - (-2\cos(0)) ]
Поскольку (\cos(\pi) = -1) и (\cos(0) = 1),
[ -2\cos(\pi) - (-2\cos(0)) = -2(-1) - (-2(1)) = 2 + 2 = 4 ]
Итак, площадь первой фигуры равна 4.
Границы: (y = 3\cos(x)), (y = 0), (x = \pi), (x = 2\pi).
Площадь фигуры будет равна интегралу функции (3\cos(x)) от (x = \pi) до (x = 2\пи):
[ \text{Площадь} = \int_{\pi}^{2\pi} 3\cos(x) \, dx ]
Вновь воспользуемся таблицей интегралов:
[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) ]
Следовательно,
[ \int 3\cos(x) \, dx = 3\sin(x) ]
Теперь подставим пределы интегрирования:
[ \int{\pi}^{2\pi} 3\cos(x) \, dx = \left[3\sin(x)\right]{\pi}^{2\pi} = 3\sin(2\pi) - 3\sin(\pi) ]
Поскольку (\sin(2\pi) = 0) и (\sin(\пи) = 0),
[ 3\sin(2\пи) - 3\sin(\пи) = 3(0) - 3(0) = 0 ]
Таким образом, площадь второй фигуры равна 0.
