Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=1+x^3, y=0, x=2.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и затем провести интегрирование.

Сначала найдем точки пересечения линии y=1+x^3 и оси x=2. Подставим x=2 в уравнение y=1+x^3: y=1+2^3=1+8=9. Точка пересечения будет (2,9).

Теперь мы можем записать уравнение площади S как интеграл от y=0 до y=9 по отношению к x на интервале от x=0 до x=2 (то есть от точки пересечения до вертикальной линии x=2) функции y=1+x^3.

S = ∫[0,9] (2 - (1+x^3)) dy = ∫[0,9] (1 - x^3) dy = y - (x^3)y = 9 - 2^3*9 = 9 - 72 = -63.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=1+x^3, y=0, x=2, равна 63 квадратным единицам.

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, равна 9/4.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, следует использовать определённый интеграл. В данном случае линия ( y = 1 + x^3 ) задаёт верхнюю границу фигуры, линия ( y = 0 ) — нижнюю границу, а линия ( x = 2 ) — правую границу. Нам не указана левая граница явно, но предположим, что это линия ( x = 0 ), так как это часто является естественным выбором, если не указано иное.

Таким образом, площадь фигуры можно вычислить как определённый интеграл функции ( y = 1 + x^3 ) от ( x = 0 ) до ( x = 2 ):

[ A = \int_{0}^{2} (1 + x^3) \, dx ]

Теперь вычислим этот интеграл:

1. Разделим интеграл на две части: [ A = \int{0}^{2} 1 \, dx + \int{0}^{2} x^3 \, dx ]

2. Вычислим первый интеграл: [ \int{0}^{2} 1 \, dx = [x]{0}^{2} = 2 - 0 = 2 ]

3. Вычислим второй интеграл: [ \int{0}^{2} x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 ]

4. Сложим результаты обоих интегралов: [ A = 2 + 4 = 6 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 1 + x^3 ), ( y = 0 ) и ( x = 2 ), равна 6.