Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-6/x, y=x+7

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=-6/x и y=x+7, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем два уравнения:

-6/x = x + 7

Умножим обе части уравнения на x:

-6 = x^2 + 7x

Приведем уравнение к квадратичному виду:

x^2 + 7x + 6 = 0

Разложим на множители:

(x + 1)(x + 6) = 0

Таким образом, получаем два корня: x = -1 и x = -6. Теперь найдем соответствующие значения y:

y = -6/-1 = 6 y = -6/-6 = 1

Таким образом, точки пересечения линий y=-6/x и y=x+7: (-1, 6) и (-6, 1).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо найти разность интегралов функций в точках пересечения:

S = ∫[x1, x2] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) = -6/x и g(x) = x + 7. Подставляем значения точек пересечения (-6, 1) и (-1, 6):

S = ∫[-6, -1] (-6/x - (x + 7)) dx

S = ∫[-6, -1] (-6/x - x - 7) dx

После вычисления данного интеграла, получим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = -\frac{6}{x} ) и ( y = x + 7 ), необходимо найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интегралы для определения площади.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий

Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для ( y ): [ -\frac{6}{x} = x + 7 ]

Умножим обе части уравнения на ( x ) (предполагая, что ( x \neq 0 )): [ -6 = x^2 + 7x ]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ x^2 + 7x + 6 = 0 ]

Решим квадратное уравнение ( x^2 + 7x + 6 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 ]

Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 5}{2} ]

Таким образом, корни уравнения: [ x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 ] [ x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6 ]

Точки пересечения линий ( y = -\frac{6}{x} ) и ( y = x + 7 ): [ (-1, 6) ] [ (-6, 1) ]

Шаг 2: Определить границы интегрирования и функции

Теперь, когда мы знаем точки пересечения, определим границы интегрирования: от ( x = -6 ) до ( x = -1 ).

Для определения площади фигуры между кривыми, найдем разницу между значениями функций ( y = x + 7 ) и ( y = -\frac{6}{x} ).

Шаг 3: Вычисление интегралов

Площадь ( A ) определяется как разность интегралов: [ A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx ] где ( f(x) = x + 7 ) и ( g(x) = -\frac{6}{x} ), а границы интегрирования ( a = -6 ) и ( b = -1 ).

[ A = \int{-6}^{-1} \left( (x + 7) - \left( -\frac{6}{x} \right) \right) \, dx ] [ A = \int{-6}^{-1} \left( x + 7 + \frac{6}{x} \right) \, dx ]

Разобьем интеграл на три части: [ A = \int{-6}^{-1} x \, dx + \int{-6}^{-1} 7 \, dx + \int_{-6}^{-1} \frac{6}{x} \, dx ]

Шаг 4: Вычисление каждого интеграла

1. Интеграл ( \int{-6}^{-1} x \, dx ): [ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \Bigg|{-6}^{-1} = \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-6)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{36}{2} = \frac{1}{2} - 18 = -\frac{35}{2} ]

2. Интеграл ( \int{-6}^{-1} 7 \, dx ): [ \int 7 \, dx = 7x \Bigg|{-6}^{-1} = 7(-1) - 7(-6) = -7 + 42 = 35 ]

3. Интеграл ( \int{-6}^{-1} \frac{6}{x} \, dx ): [ \int \frac{6}{x} \, dx = 6 \ln|x| \Bigg|{-6}^{-1} = 6 \ln|-1| - 6 \ln|-6| = 6 \ln 1 - 6 \ln 6 = 0 - 6 \ln 6 = -6 \ln 6 ]

Шаг 5: Суммирование результатов

Теперь сложим результаты интегралов: [ A = -\frac{35}{2} + 35 - 6 \ln 6 ] [ A = -\frac{35}{2} + \frac{70}{2} - 6 \ln 6 ] [ A = \frac{-35 + 70}{2} - 6 \ln 6 ] [ A = \frac{35}{2} - 6 \ln 6 ]

Итог

Площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -\frac{6}{x} ) и ( y = x + 7 ), равна: [ A = \frac{35}{2} - 6 \ln 6 ]

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными линиями, необходимо найти точки их пересечения, а затем проинтегрировать модуль разности уравнений этих линий для нахождения площади между ними.