Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+2 ; y=-x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 2 ) и ( y = -x ), нужно сначала определить точки пересечения этих кривых, так как они задают границы области интегрирования.

1. Найдем точки пересечения:

   Для этого приравняем правые части уравнений:

   [ -x^2 + 2 = -x ]

   Преобразуем это уравнение:

   [ -x^2 + x + 2 = 0 ]

   Умножим уравнение на (-1), чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

   [ x^2 - x - 2 = 0 ]

   Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта ((D)):

   [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

   Найдем корни уравнения:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

   [ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

   Таким образом, точки пересечения — это ( x = -1 ) и ( x = 2 ).

2. Вычислим площадь между кривыми:

   Площадь между двумя кривыми на интервале ([a, b]) вычисляется как интеграл разности функций:

   [ \text{Площадь} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ]

   где ( f(x) = -x ) и ( g(x) = -x^2 + 2 ).

   На интервале ([-1, 2]) функция ( y = -x^2 + 2 ) лежит выше функции ( y = -x ), потому что:

   [ -x^2 + 2 - (-x) = -x^2 + x + 2 ]

   Найдем интеграл:

   [ \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx ]

   Разобьем интеграл на части и вычислим:

   [ \int (-x^2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + C ]

   [ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C ]

   [ \int 2 \, dx = 2x + C ]

   Подставим пределы интегрирования:

   [ \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} ]

   Вычислим значение интеграла в точках (x = 2) и (x = -1):

   Для (x = 2):

   [ -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 ]

   [ = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3} ]

   Для (x = -1):

   [ -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 ]

   Приведем к общему знаменателю (6):

   [ = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = \frac{5}{6} - \frac{12}{6} ]

   [ = -\frac{7}{6} ]

   Разность значений интеграла:

   [ \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} ]

   Приведем к общему знаменателю (6):

   [ = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна (\frac{9}{2}) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 + 2 и y = -x, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем функции друг к другу:

-x = -x^2 + 2

Переносим все члены в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

x^2 - x + 2 = 0

Дискриминант этого уравнения D = (-1)^2 - 4 1 2 = 1 - 8 = -7, что меньше нуля. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней, а значит, графики функций не пересекаются.

Для нахождения площади фигуры ограниченной графиками данных функций, необходимо рассмотреть, как они выглядят. Функция y = -x - это прямая, а y = -x^2 + 2 - это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке (0, 2).

Теперь нужно найти точку пересечения прямой и параболы. Поскольку они не пересекаются, площадь фигуры ограниченной ими равна площади фигуры, ограниченной прямой y = -x и осью абсцисс. Это треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, -1) и (-1, -1).

Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

S = 0.5 |0 (-1) + 0 (-1) + (-1) 0| = 0.5 * 0 = 0

Таким образом, площадь фигуры ограниченной линиями y = -x^2 + 2 и y = -x равна 0.