ВЫЧИСлите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+3x+4 y=x+1

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения, которые будут задавать границы интегрирования.

Для этого равняем уравнения прямой и параболы: 1) y = -x^2 + 3x + 4 2) y = x + 1

Приравниваем их: -x^2 + 3x + 4 = x + 1

Получаем квадратное уравнение: -x^2 + 3x + 4 - x - 1 = 0 -x^2 + 2x + 3 = 0

Решаем это уравнение: D = b^2 - 4ac D = 2^2 - 4(-1)3 = 4 + 12 = 16

x = (-b ± √D) / 2a x = (-2 ± √16) / 2*(-1) x = (-2 ± 4) / -2

Таким образом, x1 = -1 и x2 = 3.

Теперь, для нахождения площади найдем интеграл функции y = -x^2 + 3x + 4 - (x + 1) = -x^2 + 2x + 3 на интервале [-1; 3]: ∫[-1;3] (-x^2 + 2x + 3) dx = [-x^3/3 + x^2 + 3x] ∣[-1;3] = [-(3)^3/3 + (3)^2 + 3*3] - [(-(-1)^3/3 + (-1)^2 + 3*(-1))] = -9 + 9 + 9 - 1/3 + 1 - 3 = 16 - 1/3 - 3 = 49/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 3x + 4 и y = x + 1, равна 49/3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 + 3x + 4 ) и ( y = x + 1 ), сначала нужно определить точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

[ -x^2 + 3x + 4 = x + 1 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[ -x^2 + 3x + 4 - x - 1 = 0 ]

Упростим уравнение:

[ -x^2 + 2x + 3 = 0 ]

Перемножим на -1, чтобы упростить решение:

[ x^2 - 2x - 3 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Получаем корни:

[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

Таким образом, точки пересечения имеют абсциссы ( x = -1 ) и ( x = 3 ). Теперь найдём площадь фигуры, вычислив определённый интеграл разности функций на отрезке ([-1, 3]):

[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{3} ((x + 1) - (-x^2 + 3x + 4)) \, dx ]

Упростим подинтегральное выражение:

[ = \int{-1}^{3} (x + 1 + x^2 - 3x - 4) \, dx ] [ = \int{-1}^{3} (x^2 - 2x - 3) \, dx ]

Теперь вычислим интеграл:

[ = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} - 3x \right]_{-1}^{3} ]

Подставим пределы интегрирования:

[ = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{2 \cdot 3^2}{2} - 3 \cdot 3 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - \frac{2 \cdot (-1)^2}{2} - 3 \cdot (-1) \right) ]

[ = \left( \frac{27}{3} - \frac{18}{2} - 9 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1.0 + 3 \right) ]

[ = (9 - 9 - 9) - \left(-\frac{1}{3} + 2 \right) ]

[ = -9 - \left( \frac{5}{3} \right) ]

[ = -9 + \frac{5}{3} ]

Приводим к общему знаменателю и вычисляем:

[ = -\frac{27}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{22}{3} ]

Площадь фигуры является положительным числом, поэтому возьмем абсолютное значение:

[ \text{Площадь} = \frac{22}{3} ]

Таким образом, площадь области, ограниченной данными кривыми, равна (\frac{22}{3}) квадратных единиц.