Вычислите пожалуйста sin105°+sin165°

sin105°+sin165° = 0.5

Чтобы вычислить выражение (\sin 105^\circ + \sin 165^\circ), можно воспользоваться дополнительными формулами тригонометрии и свойствами синуса.

1. Формулы приведения и дополнения углов:
   • (\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta)

Используя это правило, можно упростить (\sin 165^\circ): [ \sin 165^\circ = \sin(180^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ ]

Теперь у нас есть: [ \sin 105^\circ + \sin 165^\circ = \sin 105^\circ + \sin 15^\circ ]

1. Формула синуса суммы углов:
   • (\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b)

Для (\sin 105^\circ) можно записать: [ \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ ]

Подставляя значения: [ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Получаем: [ \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ]

1. Формула синуса разности углов:
   • (\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b)

Для (\sin 15^\circ) можно записать: [ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ ]

Подставляя значения: [ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ]

Получаем: [ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

1. Сложение синусов: Теперь сложим значения: [ \sin 105^\circ + \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ]

Упрощая, получаем: [ \sin 105^\circ + \sin 15^\circ = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} ]

Таким образом, (\sin 105^\circ + \sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2}).

Для вычисления sin105° и sin165° мы можем воспользоваться формулой суммы углов для синуса: sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB.

Таким образом, мы можем выразить sin105° и sin165° через sin45° и cos45°, так как sin45° = cos45° = √2 / 2.

sin105° = sin(45° + 60°) = sin45°cos60° + cos45°sin60° = (√2 / 2)(1/2) + (√2 / 2)(√3 / 2) = √2 / 4 + √6 / 4 = (√2 + √6) / 4

sin165° = sin(45° + 120°) = sin45°cos120° + cos45°sin120° = (√2 / 2)(-1/2) + (√2 / 2)(√3 / 2) = -√2 / 4 + √6 / 4 = (√6 - √2) / 4

Теперь можем вычислить sin105° + sin165°:

(√2 + √6) / 4 + (√6 - √2) / 4 = (√2 - √2 + √6 + √6) / 4 = 2√6 / 4 = √6 / 2

Итак, sin105° + sin165° = √6 / 2.