Вычислите при помощи формул приведения: а) tg(-675°) : cos(-570°) - ctg150° б) ctg 43π/6 + sin 28π/3

Для вычисления данных выражений при помощи формул приведения, нам необходимо упростить углы и воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Задание а) ( \frac{\tg(-675°)}{\cos(-570°)} - \ctg 150° )

1. Найдем значение (\tg(-675°)):

   • Угол (-675°) можно привести к эквивалентному углу в пределах от (0°) до (360°). Для этого используем периодичность тангенса: (-675° + 2 \cdot 360° = -675° + 720° = 45°).
   • (\tg(-675°) = \tg(45°) = 1).

2. Найдем значение (\cos(-570°)):

   • Угол (-570°) также приведем к эквивалентному углу в пределах от (0°) до (360°). Используем периодичность косинуса: (-570° + 2 \cdot 360° = -570° + 720° = 150°).
   • (\cos(-570°) = \cos(150°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}) (учитывая, что косинус 150° отрицательный, так как угол находится во второй четверти).

3. Найдем значение (\ctg 150°):

   • (\ctg 150° = \frac{1}{\tg 150°} = \frac{1}{-\tg(30°)} = \frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{3}).

Теперь подставим найденные значения в выражение: [ \frac{\tg(-675°)}{\cos(-570°)} - \ctg 150° = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} - (-\sqrt{3}) = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{-2 + 3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Задание б) ( \ctg \frac{43\pi}{6} + \sin \frac{28\pi}{3} )

1. Найдем значение (\ctg \frac{43\pi}{6}):

   • Приведем угол к эквивалентному в пределах от (0) до (2\pi): (\frac{43\pi}{6} - 7\pi = \frac{43\pi}{6} - \frac{42\pi}{6} = \frac{\pi}{6}).
   • (\ctg \frac{43\pi}{6} = \ctg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\tg \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}).

2. Найдем значение (\sin \frac{28\pi}{3}):

   • Приведем угол к эквивалентному в пределах от (0) до (2\pi): (\frac{28\pi}{3} - 9\cdot 2\pi = \frac{28\pi}{3} - \frac{18\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} - 2\cdot 2\pi = \frac{10\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}).
   • (\sin \frac{28\pi}{3} = \sin \frac{4\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}) (учитывая периодичность синуса).

Теперь подставим найденные значения в выражение: [ \ctg \frac{43\pi}{6} + \sin \frac{28\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} ]

Окончательные ответы:

а) ( \frac{\sqrt{3}}{3} )
б) ( \frac{3\sqrt{3}}{2} )

а) tg(-675°) = tg(-360° - 315°) = tg(-315°) = tg(45°) = 1 cos(-570°) = cos(-360° - 210°) = cos(-210°) = -cos(210°) = -(-√3/2) = √3/2 ctg150° = 1/tg150° = 1/tg(180° - 30°) = 1/tg30° = 1/(√3) = √3/3

Итак, tg(-675°) : cos(-570°) - ctg150° = 1 : √3/2 - √3/3 = 2/√3 - √3/3 = (6 - 3√3)/3√3

б) ctg(43π/6) = ctg(42π/6 + π/6) = ctg(7π/3) = -ctg(π/3) = -1/√3 sin(28π/3) = sin(27π/3 + π/3) = sin(9π) = 0

Итак, ctg(43π/6) + sin(28π/3) = -1/√3 + 0 = -1/√3